Ungleichung

21.02.2009, 16:55

superwoman

Ungleichung

Hi.
Ich möchte folgende Aussage beweisen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + ... + \frac{1}{r_i} > \frac{2\pi}{u} \end{eqnarray*}$

Es geht um ein regelmäßiges n-Eck, dem ein Punkt M einbeschrieben ist.
Der Punkt M hat von der i-ten Seite den Abstand $\begin{eqnarray*} r_i \end{eqnarray*}$ .
u ist der Umfang des n-Ecks.

u kann umschreiben in $\begin{eqnarray*} u=n*a \end{eqnarray*}$ , wobei a die Seitenlänge des n-Ecks ist.

Zuerst habe ich mir das gleichseitige Dreieck als Beispiel genommen.
Da habe ich die beiden Spezialfälle betrachtet, M liegt auf einer der Seiten und M ist Mittelpunkt.
Liegt M auf einer der Seiten, wird ein Bruch nicht lösbar, also entfällt dieser Fall.
Ist M Mittelpunkt, sind alle $\begin{eqnarray*} r_i \end{eqnarray*}$ gleich, somit lässt sich die ungleichung leicht umstellen.
Nun scheitere ich dadran, die Ungleichung für den anderen Fall, sei M irgendein Punkt im n-Eck, zu zeigen.
Ich weiß, dass man von dem inneren Punkt M, das n-Eck in n Dreiecke zerlegen kann, aber dann hörts auf.
Ich weiß auch, dass, wenn n gerade, sich zwei Seiten parallel gegenüber liegen und die jeweiligen
$\begin{eqnarray*} r_i \end{eqnarray*}$ sich zu gleichen r´s ergänzen. In einem Sechseck gibt es Beispielsweise drei gleiche r´s, die sich aus den sechs $\begin{eqnarray*} r_i \end{eqnarray*}$ ergeben.
Aber ab hier stocke ich und komm nicht weiter.
Kann mir vielleicht jemand helfen?

21.02.2009, 17:20

Auf diesen Beitrag antworten »

Da es um ein n-Eck geht, solltest du die Ungleichung auch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \cdots + \frac{1}{r_n} > \frac{2\pi}{u} \end{eqnarray*}$

nennen. Augenzwinkern

Zur Lösung: Betrachte die Summe der $\begin{eqnarray*} r_k \end{eqnarray*}$ , die ist nämlich konstant, d.h. völlig unabhängig von der Wahl des Punktes $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Dann berechne diese konstante Summe, wobei dir der Flächeninhalt des n-Ecks hilft. Verknüpft wird das alles durch die Ungleichung zwischen arithmetischen und harmonischen Mittel der $\begin{eqnarray*} r_k \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

EDIT: Die Ungleichung ist ja schwach wie sonst was. Lautet sie nicht eher

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \cdots + \frac{1}{r_n} > \frac{2\pi n}{u} = \frac{2\pi}{a} \end{eqnarray*}$ . verwirrt

21.02.2009, 20:08

superwoman

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort.

Also als Flächeninhaltsformel hab ich $\begin{eqnarray*} A_n=\frac{a}{2}*(r_1+r_2+...+r_n) \end{eqnarray*}$ .
Und die Summe auf der linken Seite kann ich umschreiben in $\begin{eqnarray*} r_1^{-1}+r_2^{-1}+...+r_n^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Kann ich dann einfach $\begin{eqnarray*} 1^{-1} \end{eqnarray*}$ ausklammern?
Aber inwiefern hilft mir dabei der Flächeninhalt, außer dass die Summe in anderer Form auftritt?
Die Ungleichung lautet ja:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{r_1*r_2*...*r_n}\le\frac{r_1+r_2+...+r_n}{n} \end{eqnarray*}$

Kann ich den Ausdruck einfach mal n nehmen, um den Bruch auf der rechten Seite zu beseitigen?
Und dann hoch n, um auch die Wurzel zu beseitigen?
aber irgendwie sieht das dann unnötig kompliziert aus.
Und ich weiß nicht, wo ich dann den Flächeninhalt mit unterbringen kann...

21.02.2009, 20:16

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe geschrieben "Ungleichung zwischen arithmetischen und harmonischen Mittel", NICHT "Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel". Forum Kloppe

21.02.2009, 20:26

superwoman

Auf diesen Beitrag antworten »

ups, entschuldige, da hab ich mich verlesen...tut mir leid Hammer

21.02.2009, 20:44

superwoman

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann erhalte ich folgende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{r_1+r_2+...+r_n}\le\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+...+\frac{1}{r_n} \end{eqnarray*}$
Die rechte Seite stimmt also mit der linken Seite der zu beweisenden Ungleichung überein und das Relationszeichen auch fast.

aber jetzt weiß ich mit der linken Seite nichts anzufangen, außer, dass unten die Summe wieder auftritt.
Könnte ich nicht jetzt die linke Seite noch in Relation zur rechten Seite der Ausgangsungleichung setzen?
Das würde dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{na}<\frac{n^2}{r_1+r_2+...+r_n} \end{eqnarray*}$

Das kann ich dann wieder umstellen, aber damit weiß ich auch wieder nichts anzufangen.

21.02.2009, 20:58

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe in meinem ersten Threadbeitrag eine vollständige Skizze geliefert, wie diese Aufgabe gelöst werden kann. Was du nun draus machst, ist deine Sache - ich werde mich jedenfalls nicht ständig wiederholen. Das wäre im Hochschulbereich dieses Boards irgendwie unpassend. Augenzwinkern

22.02.2009, 18:18

superwoman

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also nach stundemlangen hin und her schieben hab ich etwas und hoffe, dass es so richtig ist:

ich hab die isoperimetrische Ungleichung zur Hilfe genommen: $\begin{eqnarray*} A\leq\frac{u^2}{4\pi} \end{eqnarray*}$
für A hab $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2}*r_k \end{eqnarray*}$ eingesetzt, dann hab ich die folgende Ungleichung stehen: $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2}*r_k\leq\frac{u^2}{4\pi} \end{eqnarray*}$
diese stelle ich um und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \frac{r_k}{n}\leq\frac{u}{2\pi} \end{eqnarray*}$

auf der linken Seite der Ungleich steht jetzt das arithmetische Mittel, das ist größer gleich dem harmonischen Mittel, also hab ich folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+...+\frac{1}{r_n}}\leq\frac{u}{2\pi} \end{eqnarray*}$

dadraus erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n\pi}{u}\leq\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+...+\frac{1}{r_n} \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{u}\le\frac{2n\pi}{u} \end{eqnarray*}$ gilt die gegebene Ungleichung.

Oder hab ich irgendwo einen Denkfehler?

Aber dafür muss ich doch noch beweisen, das die Summe r_k konstant ist, aber wie kann ich das mit Hilfe des Flächeninhalts machen? Kann mir da jemand helfen?

22.02.2009, 18:34

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du so ein Geschütz wie die isoperimetrische Ungleichung verwenden darfst, umso besser (es geht auch ohne sie). Aber halte doch bitte die mathematische Form ein:

Du schreibst oben öfter mal $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2} r_k \end{eqnarray*}$ , wo eigentlich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{a}{2} r_k \end{eqnarray*}$ stehen sollte, das betrifft den ganzen Abschnitt

Zitat:

Original von superwoman
für A hab $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2}*r_k \end{eqnarray*}$ eingesetzt, dann hab ich die folgende Ungleichung stehen: $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2}*r_k\leq\frac{u^2}{4\pi} \end{eqnarray*}$
diese stelle ich um und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \frac{r_k}{n}\leq\frac{u}{2\pi} \end{eqnarray*}$

Ohne Summenzeichen wäre das natürlich völliger Käse.

Zitat:

Original von superwoman
Aber dafür muss ich doch noch beweisen, das die Summe r_k konstant ist, aber wie kann ich das mit Hilfe des Flächeninhalts machen?

Bei Nachrüstung des fehlenden Summenzeichens hast du das soeben doch schon getan - hast es nur nicht gemerkt:

Zieht man von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die Strecken zu allen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Eckpunkten des n-Ecks, dann erhält man eine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Dreiecke. Deren Flächensumme ist also

$\begin{eqnarray*} A = \sum_{k=1}^n \frac{a}{2}r_k = \frac{a}{2} \cdot \sum_{k=1}^n r_k \end{eqnarray*}$ , oder umgestellt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n r_k = \frac{2A}{a} \end{eqnarray*}$ .

Die rechte Seite ist offenbar unabhängig von der Wahl von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ - davon, und von nichts anderem habe ich die ganze Zeit geredet.

22.02.2009, 23:02

superwoman

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar.
Danke für die Hilfe.

Neue Frage »

Antworten »

Ungleichung

Verwandte Themen