Orthonormalisierungsverfahren

21.02.2009, 17:01	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalisierungsverfahren Ich hab da mal ne Frage zum Orthogonalisierungsverfahren! Grundsätzlich will ich ne Hauptachsentransformation machen. Hab dafür schon mal die Eigenvektoren bestimmt. $\begin{eqnarray} v_1=\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_2=\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_3=\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun müssen die ja noch orthonormalisiert werden. Ich hab das auch schon mal probiert und bin so weit gekommen: $\begin{eqnarray} v_1'= \frac{1}{\sqrt{35}} \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_2'= \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und nun?
22.02.2009, 07:16	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Und nun schaust du in dein Skript und schaust dir an, wie man nach Gram-Schmidt orthogonalisiert.
22.02.2009, 07:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch ohne Kenntnis der zugrundeliegenden symmetrischen Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ kann man schließen, dass oben ein Rechenfehler vorliegen muss, wahrscheinlich bei $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ : Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten müssen bei symmetrischen Matrizen ja von vornherein (d.h. ohne Gram-Schmidt) orthogonal sein. Da $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ weder zu $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ noch zu $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ orthogonal ist, müssten alle drei zum selben, dann dreifachem Eigenwert gehören. Dann wäre aber $\begin{eqnarray} A = \lambda E \end{eqnarray}$ , und man könnte sich die ganze Hauptachsentransformation sparen.

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