Beweis zur Quersumme

21.02.2009, 19:32

täschi

Beweis zur Quersumme

Hallo,

kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich folgende Aufgabe beweisen kann?

Für alle
$\begin{eqnarray*} n>0, n\in \mathbb{N}\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ und durch $\begin{eqnarray*} (10^i-1) \end{eqnarray*}$ teilbar, dann ist die größte untere Schranke der Quersumme von n $\begin{eqnarray*} i\cdot 9 \end{eqnarray*}$ .

Durch ausprobieren ist das logisch, aber wie kann man das allgemein beweisen?- Mit der Neuner- und Elfer-Probe?
Denn:
i=1 --> n=9 und größte untere Schranke der Quersumme ist neun.
i=2 --> n=99 und größte untere Schranke der Quersumme ist 18.
i=3 --> n=999 und größte untere Schranke der Quersumme ist 27.
Da $\begin{eqnarray*} 9\cdot 111=999 \end{eqnarray*}$ und die Quersumme von 111 ist wiederrum 3, und $\begin{eqnarray*} 9 \cdot 3=27. \end{eqnarray*}$

Leider bin ich mir nicht ganz sicher, ob das so richtig ist und wie man das formal beweisen kann.

Ich danke schon mal für Tipps.
LG täschi

22.02.2009, 07:43

WebFritzi

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22.02.2009, 18:43

täschi

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Ist das komplett falsch???
traurig

23.02.2009, 11:59

Reksilat

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Falsch ist es nicht, nur eben auch nicht sonderlich aussagekräftig.

Zitat:

Durch ausprobieren ist das logisch

Sehe ich zum Beispiel überhaupt nicht - schon bei i=3 kann ich Dir nicht mehr folgen.

Schau Dir doch mal das Beispiel i=2 an, das reicht schon:
$\begin{eqnarray*} n=\sum_{j=0}^kx_j\cdot 10^j \end{eqnarray*}$ sei die Dezimaldarstellung einer durch 99 teilbaren Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$
Betrachten wir das ganze modulo 99 sieht es so aus:
$\begin{eqnarray*} n\equiv x_0+x_1\cdot 10+x_2+x_3\cdot 10+x_4+x_5\cdot 10+...\equiv (x_0+x_2+x_4+...)+(x_1+x_3+x_5+...)\cdot 10\stackrel{}{\equiv}0 \mod 99 \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

23.02.2009, 17:26

täschi

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Hallo Reksilat,

Danke erst einmal für die Antwort.

Also kann die Aufgabe so nicht stimmen!!!- Schade traurig

Meine Aufgabe besteht eigentlich darin zu verallgemeinern und zwar eine natürliche Zahl, die durch 99 teilbar ist, und die größte untere Schranke der Quersumme dieser Zahl.
Hast du da vielleicht dann einen anderen Vorschlag oder Tipp?

LG täschi

23.02.2009, 17:33

Reksilat

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Was? Doch klar, die Aussage stimmt. Ich meinte nur, dass ich nicht nachvollziehen kann, was Du bisher gemacht hast. Mit meinem Beispiel solltest Du eigentlich nachvollziehen können, dass jede Zahl, die durch 99 teilbar ist, als Quersumme mindestens 18 hat. Das Prinzip wiederholt sich dann eben auch für größere i.

23.02.2009, 17:44

WebFritzi

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RE: Beweis zur Quersumme

Zitat:

Original von täschi
Für alle
$\begin{eqnarray*} n>0, n\in \mathbb{N}\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ und durch $\begin{eqnarray*} (10^i-1) \end{eqnarray*}$ teilbar, dann ist die größte untere Schranke der Quersumme von n $\begin{eqnarray*} i\cdot 9 \end{eqnarray*}$ .

Dafür gab es die Schläge von mir. Erstens ist das einfach mal kein deutscher Satz.

"Für alle Häuser und mit Händen auswringbar, dann regnet es."

Verstehst du, was ich damit meine? Nein? Dann kannst du vielleicht auch verstehen, warum ich deinen Satz nicht verstehe.

Und zweitens: Was ist bitte eine größte untere Schranke einer Quersumme? Eine Quersumme ist eine Zahl, und eine obere Schranke einer Zahl gibt es erstmal nicht. Also: was soll das sein?

23.02.2009, 20:03

täschi

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Hallo,

ach so jetzt versteh ich das Problem smile

Also dann versuch ich das einmal anders zu formulieren:

Eine natürliche Zahl, die größer als Null ist, sei durch eine Zahl teilbar, die als Ziffern nur Neuer enthält, d.h. 99, 999, 9999, usw..
Dann ist die größte untere Schranke der Quersumme dieser Zahl bzw. Zahlen, die durch 99, 999, 9999, usw. teilbar sind, das Produkt aus der neun und der Anzahl der der Ziffern der Teilerzahl, d.h. bei 99 --> 18, bei 999 -->27.

Ich finde, dass es jetzt irgendwie verwirrend klingt.

Also ein Beispiel: für die Zahlen, die durch 99 teilbar sind, ist die größte untere Schranke der Quersumme aller Zahlen, die durch 99 teilbar sind, 18.
Denn man muss die Teiler 9 und 11 betrachten.

Da 18 auch als
$\begin{eqnarray*} 9 \cdot 2 \end{eqnarray*}$ dargestellt werden kann, habe die Vermutung aufgestellt, dass die größte untere Schranke der Quersumme bei den Zahlen, die durch 999 teilbar sind, $\begin{eqnarray*} 27=3\cdot 9 \end{eqnarray*}$ ist. Da $\begin{eqnarray*} 999=111 \cdot 9 \end{eqnarray*}$ .
Dies aber nur eine Vermutung. Auf jeden Fall ist die größte untere Schranke aller Quersummen in diesem Fall größergleich 18.

So ich hoffe, dass es etwas verständlicher wurde, aber es kann auch sein, dass mich in meinen Gedanken zu sehr festgefahren hab, und die Vermutung garnicht stimmt bzw. nicht zu beweisen geht.

Falls ihr noch Fragen oder Anmerkungen habt, würde ich mich über eine Antwort sehr freuen.

LG täschi

23.02.2009, 20:16

Reksilat

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Sei $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n=\sum_{j=0}^kx_j\cdot 10^j \end{eqnarray*}$ deren Dezimaldarstellung und $\begin{eqnarray*} (10^i-1)|n \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} i\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ dann giltfür die Quersumme $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^kx_j\geq i\cdot 9 \end{eqnarray*}$

Diese Aussage stimmt und lässt sich auch auf die von mir genannte Art beweisen. Wenn Du das ganze als fertige Aufgabe hinstellst, aber eigentlich gar nicht weißt, ob die Aussage stimmt, ist es klar, dass es zu Verwirrungen kommen muss.

PS: Dein Eingangsposting war weniger verwirrend, nur eben furchtbar formuliert.

23.02.2009, 20:49

täschi

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Hey Reksilat,

vielen Dank!!! Ich werde dann mal probieren es auf deinem Wege zu beweisen.

LG täschi

25.02.2009, 22:25

täschi

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Hallo,

bin wieder da, Habe die letzen Tage über der Verallgemeinerung gegrübbelt. Und weiß leider immer noch nicht recht wie man das genau berweisen könnte.

@ Reksilat:
leider ist es mir nicht recht gelungen nach deinem ansatz weiter zu denken, weil ich nicht ganz verstehe, wieso du immer nur die zweite Ziffer mit der 10 multiplizierst.

Ich habe einen neuen Ansatz für $\begin{eqnarray*} 10^{2i}-1 \end{eqnarray*}$ gefunden. Dies ist der 3. Binom, so kann man hier mit Quersumme und der Quersumme der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Ordnung arbeiten. Und diese in Beziehung setzen.

Allerdings habe ich somit ja nicht bewiesen, dass es für alle i gilt.

Würde mich über weitere Tipps zum Beweis der Aussage freuen.
LG täschi

25.02.2009, 23:10

Reksilat

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Zu Deinem Ansatz kann ich jetzt nichts sagen, aber oben habe ich ja geschrieben:

Zitat:

Betrachten wir das ganze modulo 99 sieht es so aus:
$\begin{eqnarray*} n\equiv x_0+x_1\cdot 10+x_2+x_3\cdot 10+x_4+x_5\cdot 10+...\equiv (x_0+x_2+x_4+...)+(x_1+x_3+x_5+...)\cdot 10\stackrel{}{\equiv}0 \mod 99 \end{eqnarray*}$

Und hier wird nicht einfach irgendwas multipliziert, sondern es ist einfach nur die Dezimaldarstellung von n:
$\begin{eqnarray*} n=x_0+x_1\cdot 10+x_2\cdot 100+x_3\cdot 1000+x_4\cdot 10000+... \end{eqnarray*}$

Und modulo 99 wissen wir, dass $\begin{eqnarray*} 100\equiv 1(99) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 1000\equiv 10(99) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 10000\equiv 1(99) \end{eqnarray*}$ u.s.w. ist
Damit erhält man dann auch die obige Formel.

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