Von Beträgen, Quadraten und Wurzeln

21.02.2009, 20:57

bertrahm

Von Beträgen, Quadraten und Wurzeln

Hallo Mathemagier, ich komme immer und immer wieder durcheinander mit den im Topic erwähnten Begriffen. Also nicht mit den Definitionen der Begriffe selbst, aber wann man eben plötzlich anfangen muss mit Beträgen zu arbeiten, oder mit $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ ?

Wenn man einen Term ( ... )² aus einer Wurzel herauszieht, müssen Betragsstriche gesetzt werden. Wenn man x² = ... auflöst, muss dort plus-minus stehen.
Ich hätte so gerne eine anschuliche Übersicht am besten mit Beispielen... Wie ist es bei unreraden Exponenten, was ist mit (-x)^(1/3) ? usw...
ständig komme ich durcheinander...

21.02.2009, 23:52

jester.

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Wenn du aus einer Quadratzahl die Wurzel ziehst, musst du zwei Lösungen angeben, weil eine Quadratzahl sowohl als das Quadrat zweier positiver Zahlen wie zweier negativer Zahlen angegeben werden kann:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2=(-2) \cdot (-2) =4 ~~~~ \Rightarrow ~~~~ \sqrt{4}=2 \vee \sqrt{4}=-2 \end{eqnarray*}$

Was deine weiteren Fragen angeht, da solltest du schon etwas spezifischer sein. Wir können hier nur bei konkreten Fragestellungen weiterhelfen.

22.02.2009, 02:30

Zellerli

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Das Problem hatte ich in der Mittelstufe damals auch anfangs. Bis ein Lehrer mal sauber definiert hat und klargestellt hat, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ , also die Quadratwurzel aus a, diejenige positive Zahl ist, die mit sich selber multipliziert a ergibt (Definition). Das heißt ja nicht, dass es die einzige Zahl ist, die diese Eigenschaft hat. Aber es ist die einzige positive Zahl, die sie hat. Die Quadratwurzel (ohne Minuszeichen davor) ist also stets positiv!

Erst durch $\begin{eqnarray*} - \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ hat man präzise auch die negative Zahl beschrieben, die mit sich selber multipliziert a ergibt.

Damit ist also z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ immer positiv. Das heißt die Fallunterscheidung tritt nicht bei der Quadratwurzel als solches auf. Klar: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ . Und nicht irgendwie "entweder $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} - \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ ".

Mehrere Lösungen (also positive und negative Wurzel) treten dann auf, wenn gefragt ist:

Welche Zahlen x erfüllen die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=2 \end{eqnarray*}$ ?
Dann ist es nämlich kurzsichtig einfach "auf beiden Seiten die Wurzel ziehen". Stattdessen musst du fragen: Welche Zahl(en) ergeben mit sich selber multipliziert die 2? Und da sollten dir genau zwei einfallen Augenzwinkern

Naja und ansonsten gilt bei Potenzen (platt ausgedrück, vielleicht als Merkhilfe):

negativer Exponent heißt "1 durch ...": $\begin{eqnarray*} a^{-b} = \frac{1}{a^b} \end{eqnarray*}$
gebrochener Exponent heißt "Wurzel...": $\begin{eqnarray*} a^\frac{1}{b}=\sqrt[b]{a} \end{eqnarray*}$

natürlich kann sowas auch kombiniert auftreten (das waren zwei leichte Sonderfälle):
$\begin{eqnarray*} a^{-\frac{b}{c}}=\frac{1}{\sqrt[c]{a}^b} \end{eqnarray*}$

22.02.2009, 10:51

jester.

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Zitat:

Original von Zellerli
Das Problem hatte ich in der Mittelstufe damals auch anfangs. Bis ein Lehrer mal sauber definiert hat und klargestellt hat, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ , also die Quadratwurzel aus a, diejenige positive Zahl ist, die mit sich selber multipliziert a ergibt (Definition). Das heißt ja nicht, dass es die einzige Zahl ist, die diese Eigenschaft hat. Aber es ist die einzige positive Zahl, die sie hat. Die Quadratwurzel (ohne Minuszeichen davor) ist also stets positiv!

Gut, wenn man eine solche Definition hat, dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ natürlich eindeutig $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ . Aber es scheint dann wohl mehrere (vielleicht auch eine falsche?) Definitionen der Quadratwurzel zu geben... verwirrt

Oder vielleicht werfe ich auch jetzt etwas durcheinander, eben aufgrund der zwei Lösungen quadratischer Gleichungen...

22.02.2009, 12:11

Zellerli

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Also die mir bekannte Definition lautet so. Bei Wiki steht das selbe. Ich schau mal im Bronstein...

$\begin{eqnarray*} \text{Als }n\text{-te Wurzel aus }a\text{ wird die positive Zahl } \sqrt[n]{a} \ \text{ (}a>0\text{ reell; }n>0\text{, ganz) bezeichnet.} \end{eqnarray*}$

Da steht dann weiter:

$\begin{eqnarray*} \text{Für die Lösung der Gleichung }x^n=a \ \text{ (}a \text{ reell oder komplex; } n>0 \text{, ganz) wird häufig auch die Schreib-} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{weise } x=\sqrt[n]{a} \text{ verwendet, aber dann repräsentiert diese Darstellung }n \text{ Werte } x_k \text{ (}k=1,2,...,n \text{).} \end{eqnarray*}$

Also gibts wohl auch Menschen die zu gegebener Zeit mal mit $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ meinen: $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{a} \ \vee \ x=- \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ . Sehr verwirrend diese Schreibweise. An der Schule sollte die einem auch nicht unterkommen...

22.02.2009, 15:10

jester.

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Also deine Definition ist auf jeden Fall auch die jenige, die "alltagstauglich" ist. In Einstellungstests würde auf die Frage "Was ist die Quadratwurzel von 9?" wohl kaum die Antwort -3 erwartet werden.

22.02.2009, 15:39

bertrahm

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Halt!!! Einstellungstests sind nicht das wofür mir Antworten auf Fragen wie: "Was ist die Quadratwurzel aus 9?" fehlen.

Vielmehr beschäftigen mich die im Thema genannten Dinge im Bezug auf Ableitungen, Definitionslücken gewisser Funktionen usw... Beim Differenzieren nämlich von Arkusfunktionen mit gebrochenrationalem Argument entstehen fast immer stetigbehebbare Def. Lücken., die dann als Beträge weitermitgeführt werden müssen usw...

Also ich dachte vielleicht gibt es eine Übersicht möglichst mit Beispielen <-- das ist ja eig. die konkrete Frage...

Entscheidend ist ja eigentlich, dass Quadrieren und Wurzelziehen keine Äquivalenzumformungen sind, und es deshalb einiges zu beachten gibt. Und was das genau ist, interessiert mich.

22.02.2009, 15:54

Zellerli

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Bring doch mal ein paar deiner Beispiele. Ich glaube darauf wollte jester. auch hinaus.

Es gibt tausende Anwendungen, wo diese Definitionen zum Tragen kommen. Einige davon sind wohl auch deine. Aber da nützt es nichts, hier wild zu spekulieren. Wenn du Beispiele bringst und genau sagen kannst, wo dein Problem ist, kommen wir mit weniger Aufwand schneller zum Ziel Augenzwinkern

22.02.2009, 18:57

bertrahm

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Hm, ach... egal... ich werde mir selbst eine Übersicht schreiben.
Es ist ja nicht so, als ob ich meine Aufgaben nicht lösen könnte, so etwas ist mir noch nie im Laufe meiner Schullaufbahn passieret; zwar brauche ich schon ab und zu Hilfe, aber im großen und ganzen bringe ich meine Ergebnisse richtig aufs Papier.
Es geht mir eben vielmehr darum, durch das Auswendiglernen von Definitionen an gewissen Punkten nicht ständig auf's neue überlegen zu müssen.
Beispielsweise habe ich damals bei den gebrochenrationalen Funktionen auch einfach auswendig gelernt, für welche Bedingungen des Nenner- bzw. Zählerpolynoms sich was für eine Art Polstellen, Asymptoten und Grenzwerte etc. ergeben, sodass ich vorher bereits schon immer wusste was ich machen muss, welcher Grenzwert herauskommen muss usw... Das spart mir dann Zeit und diese kann dann für Überlegungen für die Transferaufgaben in Schulaufgaben genutzt werden, und das wiederum verschafft einem dann eine gute Note.
So jedenfalls funktioniert Mathematik für mich in der Schule.

Nur bereiten mir die Beträge Schwierigkeiten, vor allem in Verbindung mit Parametern.

Als konkretes Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f_a(x) = (x-a) \cdot e^{-|x|} \end{eqnarray*}$

- Betrag auflösen

- ableiten

Und die Aufgabe die mich besonders in Anspruch genommen hat:

Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ besitzt $\begin{eqnarray*} G_{f_a} \end{eqnarray*}$ zwei horizontale Tangenten?

Ich habe nach überdurchschnittlich langem "herumprobieren" als Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} a \in \, ]-1;1[ \end{eqnarray*}$

kann das jemand bestätigen? (und vielleicht auch dazusagen wie man es am schnellsten berechnen kann?)

23.02.2009, 08:52

Zellerli

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Herumprobieren und Auswendiglernen klingt aber mal sehr nach "non vitae sed scholae disco". An so einer Aufgabe siehst du aber, dass du auch in schola schneller voran kommst, wenn du versuchst Verständnis zu entwickeln, statt stur auswendig zu lernen.

Wenn man nicht genau weiß, wie die Funktion aussieht und wo diese Tangenten auftauchen können, gibt man das am Besten mal in Geogebra (google.de hilft dir, falls du es noch nicht hast) ein.

Somit kann man graphisch deine Antwort zunächst mal nachvollziehen.

Wie kommt man darauf:
An welchen Stellen einer Funktion existiert eine waagrechte Tangente?
Was bedeutet es, wenn es genau zwei Tangenten geben soll, die alle Stellen mit Steigung 0 "abdecken"?
Für welche a gilt diese Forderung?

23.02.2009, 09:57

bertrahm

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non vitae sed scholae disco <---

Thumbs Up. Logisch, behauptet jemand etwas anderes???

Außerdem missverstehst du mich. Mein Ergebnis kommt zwar durch "herumprobieren", das steht aber nur deshalb in Anfürhungsstrichen, weil ich mich an die Lösung herantasten musste.

freilich aber habe ich nicht, was du jetzt wahrs. denkst, einfach Werte für a eingesetzt.

Sondern wie im beitrag vorher erwähnt den betrag aufgelöst und die 2 (abschnittsweise definierten) Funktioen abgeleitet.
Dann habe ich jeweils die Ableitungen 0 gesetzt (haha, waagerechte Tangente ist 1. ableitung 0 setzten. Warum? Wegen der Steigung! < auswendig im kopf und bereit zum anwenden.) und mir die a angesehen die aus den jeweiligen Gleichungen wahre Aussagen machen. dann die Schnittmenge gebildet.
hat nur wegen der vielen gleichungen lange gedauert...

So weit mir ein graphisches Programm zu besorgen war ich übrigens auch schon, wobei ich mit GeoGebra nicht gut zurechtkomme, deswegen arbeite ich mit Mathemaica.

24.02.2009, 12:12

Zellerli

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Ja Mathematica geht natürlich auch. Nur da is vergrößern und so mühsam Augenzwinkern

Zitat:

freilich aber habe ich nicht, was du jetzt wahrs. denkst, einfach Werte für a eingesetzt.

Na dann bin ich beruhigt. Wobei diese Form des Herumprobierens nicht unbedingt schlecht ist, wenn man garkeinen Plan hat. So kriegt man vllt nen Hinweis.

Du hast die Schnittmenge gebildet für die verschiedenen a. Das verstehe ich nicht so ganz.

Und dass du auswendig weißt, dass die Ableitung in einem Punkt gleichbedeutend mit der Steigung in diesem Punkt ist, würde ich nicht als Weigerung sehen, Verständnis zu entwickeln. Wenn man so eine Aufgabe 5mal gemacht hat, hat man das im Kopf, ob man will oder nicht Augenzwinkern

Da hast du dann Recht, dass Mathe in der Schule so funktioniert.

24.02.2009, 17:39

bertrahm

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Zitat:

Original von Zellerli
Du hast die Schnittmenge gebildet für die verschiedenen a. Das verstehe ich nicht so ganz.

Na dann will ich mal:

Also die Funktion ist:

$\begin{eqnarray*} f_a(x)= (x-a) \cdot e^{-|x|} \end{eqnarray*}$

und in betragsfreier Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\begin{cases} (x-a) \cdot e^{x} & \text{für }x<0 \\ (x-a) \cdot e^{-x} & \text{für }x\ge0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f'_a(x)=\begin{cases} (1+x-a) \cdot e^x & \text{für }x<0 \\ \frac{1-x+a}{e^x} & \text{für }x\ge0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

So, damit die geforderte Bedingung erfüllt ist, muss ja gelten:

$\begin{eqnarray*} f'_a(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+x-a = 0 \land 1-x+a = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=a - 1 \land x = 1 + a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a - 1 < 0 \land 1 + a \ge 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a < 1 \land a \ge -1 \end{eqnarray*}$

Also ist die Schnittmenge $\begin{eqnarray*} a \in ]-1 ; 1 [ \end{eqnarray*}$ . Dann stimmt die Gleichung.

Beim letzten $\begin{eqnarray*} \ge \end{eqnarray*}$ bin ich mir nicht mehr sicher ob es nicht nur $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ heißen müsste.

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