Konvergenzverhalten uneigentliches Integral

21.02.2009, 22:40

Sabinee

Konvergenzverhalten uneigentliches Integral

Es geht um das Uneigentliche Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~\frac{\cos(x)}{x^2}~dx \end{eqnarray*}$ .

Ich bin so vorgegangen:

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~\frac{\cos(x)}{x^2}~dx\leq \int_{1}^{\infty}~\frac{1}{x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Und wegen dem Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale konvergiert das Integral.
Sogar absolut.

Richtig?

21.02.2009, 23:22

Musti

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RE: Konvergenzverhalten uneigentliches Integral
Ich meine das ist richtig, bin mir allerdings nicht ganz sicher.

22.02.2009, 00:02

jester.

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Dieses Analysis II-Skript (seite 13, Feststellung 5.2.7) bestätigt, dass das hier vorliegende Integral konvergiert, da $\begin{eqnarray*} \left| \frac{\cos(x)}{x^{2}} \right| \leq \frac{1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$ gilt und da die Majorante $\begin{eqnarray*} \int _{0}^{\infty} \frac{\dd x}{x^{2}} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Also alles richtig. Freude

22.02.2009, 01:23

Musti

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Genau so, hatte ich es vermutet smile

22.02.2009, 13:10

Sabinee

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Dankeschön smile

22.02.2009, 13:11

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Sabinee
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~\frac{\cos(x)}{x^2}~dx\leq \int_{1}^{\infty}~\frac{1}{x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Dies ist nicht die Begründung für die Anwendbarkeit des Majorantenkriteriums. Die richtige Begründung ist, wie jester schon sagt, die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{\cos x}{x^2}\right|\leq\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ .

22.02.2009, 13:17

Sabinee

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Ok das habe ich soweit verstanden.

23.02.2009, 13:07

Sabinee

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Die nächste Aufgabe lautet:

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{\sin(x)}{x^s}~dx \end{eqnarray*}$ konvergiert für $\begin{eqnarray*} s > 0 \end{eqnarray*}$ und konvergiert absolut für $\begin{eqnarray*} s > 1 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} s>1 \end{eqnarray*}$ weiß ich ja, da kann ich das Majorantenkriterium anwenden, aber wie zeige ich das für $\begin{eqnarray*} s>0 \end{eqnarray*}$ ?

23.02.2009, 16:50

Mathespezialschüler

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Geht es um $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty}~\frac{\sin x}{x^s}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ ? Die untere Grenze sollte größer als Null sein, sonst stimmt die Aussage nicht. Für $\begin{eqnarray*} 0<s\leq 1 \end{eqnarray*}$ kann man partiell integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\sin x}{x^s}~\mathrm dx=\frac{-\cos x}{x^s}-s\int~\frac{\cos x}{x^{s+1}}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ .

23.02.2009, 16:58

Sabinee

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Mit den Grenzen hast du recht.

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\cos x}{x^{s+1}}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Hier kann ich doch wieder mit dem Majorantenkriterium argumentieren oder?

Denn es gilt: $\begin{eqnarray*} s>0 \Rightarrow s+1>1 \end{eqnarray*}$

23.02.2009, 16:59

Mathespezialschüler

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Ja.

23.02.2009, 17:00

Sabinee

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Super vielen dank smile

23.02.2009, 17:05

WebFritzi

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Zitat:

Original von Sabinee
Mit den Grenzen hast du recht.

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\cos x}{x^{s+1}}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Hier kann ich doch wieder mit dem Majorantenkriterium argumentieren oder?

Aber wieder einmal nur mit Grenzen...

23.02.2009, 17:12

Sabinee

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Ja hab sie wieder einmal vergessen aufzuschreiben. Augenzwinkern

23.02.2009, 17:48

WebFritzi

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Scho klar. Augenzwinkern

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