Kontrolle für Anfangswertproblem gesucht

09.09.2006, 14:35

Basti79

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Kontrolle für Anfangswertproblem gesucht

Hi,
in den letzten Tage habe ich versucht, mir das Lösen von Anfangswertproblemen selbst beizubringen. Leider fühle ich mich noch nicht so sicher und es wäre nett, wenn jemand die folgende Aufgabe kontrollieren und mir meine Fehler / ungeschickten Wege oä zeigen könnte. ( Da ich leider keine Musterlösung für diese Übungsaufgabe finden konnte )
Also:
Es liegt eine chemische Reaktion vom Typ $\begin{eqnarray*} A+2B\Rightarrow AB_{2} \end{eqnarray*}$ vor.
Zu Beginn der Reaktion $\begin{eqnarray*} (t=0) \end{eqnarray*}$ seien doppelt so viele Moleküle der Sorte $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ wie $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ vorhanden $\begin{eqnarray*} (n_{B}=2n_{A}=n) \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ die Anzahl der verbrauchten Moleküle zur Zeit t, dann läßt dich die Reaktion durch das Anfangswertproblem
$\begin{eqnarray*} \frac{}{y}=\frac{1}{2}(n-y)^3 ; y(0)=0 \end{eqnarray*}$ beschreiben.
( $\begin{eqnarray*} \frac{}{y} \end{eqnarray*}$ soll die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sein, habe leider nicht rausgefunden, wie man das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit dem Punkt drauf darstellt...?)
Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ und bestimmen sie gegebenenfalls $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} y(t) \end{eqnarray*}$

Ich bin nun wie folgt vorgegangen:
$\begin{eqnarray*} \frac{}{y} = \frac{1}{2} (n-y)^3 = \frac{dy}{dt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{}^{}~ \frac{dy}{(n-y)^3} = \int_{}^{}~ \frac{1}{2} dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (n-y)^2 = - \frac{1}{t+c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n-y = -\sqrt{\frac{1}{t+c}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= \sqrt{ \frac{1}{t+c}}+n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty } y(t) = \lim_{t \to \infty } \sqrt{ \frac{1}{t+c}} +\lim_{t \to \infty } n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0 + n = 0 \end{eqnarray*}$

Bin für jede Hilfe dankbar!

Gruß

Basti

09.09.2006, 16:06

irre.flexiv

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (n-y)^2 = - \frac{1}{t+c} \end{eqnarray*}$

Da hast du einen Vorzeichenfehler. Nochmal nachrechnen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n-y = -\sqrt{\frac{1}{t+c}} \end{eqnarray*}$

Das geht nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \not = -1 !! \end{eqnarray*}$

Und nicht vergessen das Wurzel ziehen keine Äquivalenzumformung ist: $\begin{eqnarray*} x^2 = a \Rightarrow x = \pm\sqrt a \end{eqnarray*}$

09.09.2006, 18:56

Basti79

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Hi,
danke erstmal für Deine Antwort!
Ich habs jetzt ein paar mal nachgerechnet, einen Vorzeichenfehler kann ich nicht finden unglücklich

unglücklich

Allerdings habe ich nun den Faktor 2 vor dem c.
Hier ist mal meine Rechnung Schritt für Schritt, vielleicht kann mir dann jemand sagen, wann genau ich den Fehler mache.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ \frac{dy}{ (n-y)^{3}} = \int_{}^{}~ \frac{1}{2} dt \end{eqnarray*}$

Nach dem Aufleiten komm ich dann auf

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2(n-y)^2 } = \frac{1}{2} t+c \end{eqnarray*}$

Dann erweitere ich mit -2 und ^-1

$\begin{eqnarray*} (n-y)^2 = \frac{1}{-t-2c} \end{eqnarray*}$

Kann meinen Fehler einfach nicht finden!??!

Zum zweiten von Dir angesprochenen Punkt: Kann ich das Problem dann einfach mit der Hilfe von komplexen Zahlen umgehen oder bin ich da total auf dem Holzweg?

Gruß

Basti

09.09.2006, 19:19

irre.flexiv

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Zitat:

Zum zweiten von Dir angesprochenen Punkt: Kann ich das Problem dann einfach mit der Hilfe von komplexen Zahlen umgehen oder bin ich da total auf dem Holzweg?

Das Problem erledigt sich wenn du den Vorzeichenfehler behoben hast =)

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2(n-y)^2 } = \frac{1}{2} t+c \end{eqnarray*}$

Versuch mal die Probe und leite die linke Seite ab, du wirst nicht auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ (n-y)^{3}} \end{eqnarray*}$ kommen.

Ich schätze mal du hast die innere Ableitung irgendwie vergessen.

09.09.2006, 21:34

Basti79

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So, habe in meinen Übungsaufgaben einen von mir häufig gemachten Fehler gefunden. Wenn ich diesen berücksichtige bekomme ich hier folgendes Ergebnis heraus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2(y-n)^2}= \frac{1}{2}t+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (y-n)^2 = \frac{1}{t+2c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y-n = \pm \sqrt{ \frac{1}{t+2c}} \end{eqnarray*}$ (kann ich das dann so schreiben?)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y = n\pm \sqrt{\frac{1}{t+2c}} \end{eqnarray*}$

Wenn diese Rechnung nun endlich hinkommt bin ich mir sicher, daß ich bei diesem Typ von Aufgabe jedes mal den gleichen Fehler einbaue, somit kann ich ihn also jederzeit ausgleichen.
Mein Problem ist aber, daß ich nicht einen einkalkulierten Fehler ausgleichen, sondern das System verstehen will! Mit welchem System gehst Du bei so einer Aufgabe an das Bilden der Stammfunktion?

Gruß

Basti

09.09.2006, 21:37

ullim

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Ich würde mal sagen, da fehlt noch mal eiien Quadratwurzel auf der rechten Seite

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09.09.2006, 22:02

Basti79

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Ooops,
richtig, war ein Tippfehler! Wird sofort editiert,
Danke
Basti

09.09.2006, 22:15

ullim

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Jetzt muss noch die Integrationskonste C bestimmt werden aus der Anfangsbedingung.

Und Du musst Dich entscheiden, ob eine Lösung oder zwei richtig sind, entsprechend den beiden Vorzeichen.

09.09.2006, 22:40

irre.flexiv

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Zitat:

Mit welchem System gehst Du bei so einer Aufgabe an das Bilden der Stammfunktion?

Es gibt nur eins: jede Menge Übungsaufgaben rechnen. =)

Die 2 vor der Konstante kannst du übrigends weglassen, die stört nur.
Du kannst ja einfach d := 2c setzen.

09.09.2006, 23:35

Basti79

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Oky,
danke für die Tips!
Aufgrund der Aufgabenstellung würde ich behaupten, daß es nur eine Lösung gibt, nämlich die mit dem Minus; schließlich der Verbrauch am Anfang ja bei 0, am Ende bei 'n' liegen; ein Verbrauch > 'n' ist nicht möglich.

Die Konstante zu ersetzen ist natürlich echt eleganter!

C bestimmen:

$\begin{eqnarray*} 0 = n -\sqrt{ \frac{1}{t+d}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow d = \frac{1}{n^2}-t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow c = \frac{1}{2}( \frac{1}{n^2}-t) \end{eqnarray*}$

Das sollte nun aber stimmen, oder?

Gruß

Basti

09.09.2006, 23:48

ullim

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Da Du als Anfangsbedingung y(0) = 0 hast, solltest Du t = 0 in der Lösung für C einsetzen, sonst währe C ja auch keine Konstante sondern C währe von t abhängig.

10.09.2006, 01:38

irre.flexiv

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Zitat:

Aufgrund der Aufgabenstellung würde ich behaupten, daß es nur eine Lösung gibt, nämlich die mit dem Minus; schließlich der Verbrauch am Anfang ja bei 0, am Ende bei 'n' liegen; ein Verbrauch > 'n' ist nicht möglich.

Völlig richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow c = \frac{1}{2}( \frac{1}{n^2}-t) \end{eqnarray*}$

Das brauchst du nicht mehr zu machen, d ist doch deine neue Konstante.

Und wie ullim schon gesagt hat y ist eine Funktion von t. Also immer schön t = 0 setzen wenn du d berechnest =)

Lösung ist demnach $\begin{eqnarray*} y(t) = n - \sqrt{\frac{1}{t+\frac{1}{n^2}}} \end{eqnarray*}$

10.09.2006, 13:44

Basti79

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Super,
dank Eurer Hilfe klappts so langsam. Wenn meine Tochter gleich aus dem Haus ist ( also ab ca 16 Uhr, momentan ist es einfach zuuuuu laut hier ) werde ich mich dann an meine letzte Übungsaufgabe zum Thema AWP setzen; das Ergebnis poste ich dann einfach auch in diesem Thread, dann muß ich keinen neuen aufmachen!
Danke nochmal,
Gruß
Basti

10.09.2006, 16:12

Basti79

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So, es ist Ruhe eigekehrt und ich habe folgende Aufgabe ausprobiert:

Man bestimme die Lösung des Anfangswertproblems $\begin{eqnarray*} (1+x^2)y^, = 2xy ; y(0)=2 \end{eqnarray*}$

Ich habe folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} (1+x^2)y^, = 2xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{dy}{dx \cdot y} = \frac{2x}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{}^{}~ \frac{dy}{y} = \int_{}^{}~ \frac{2x}{1+x^2} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ln \mid y \mid = \frac{1}{3} x^3 +x^2 +c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y = e^ {\frac{1}{3} x^3} + e^{x^2} + e^c \end{eqnarray*}$

Konstante C berechnen:

$\begin{eqnarray*} c=ln \mid 2 \mid \end{eqnarray*}$

Lösung:

$\begin{eqnarray*} y= e^{\frac{1}{3}x^3} + e^{x^2} + e^{ln \mid 2 \mid } \end{eqnarray*}$

Ich hoffe diesmal hab ich nicht so viele dumme Fehler eingebaut!

Gruß

Basti

PS: Habe da noch eine Frage zum ersten Zwischenschritt: Muß ich da schon die Integrationszeischen setzen? Theoretisch würde ich 'ja' sagen, aber dx und dy auf einer Seite verwirren mich irgendwie...oder kommt das Zeichen bei diesem Schritt nur auf die linke, nicht aber auf die rechte Seite?

10.09.2006, 16:18

irre.flexiv

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Das Integral der rechten Seite ist falsch. Wieder Probe machen dann siehst du es.

Abgesehen davon ist $\begin{eqnarray*} e^{a+b} \not = e^a + e^b \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit:

Wegen deinem P.S.

Du machst ja nur Äquivalenzumformungen, also beide Seiten integrieren!
Ist also richtig wie du es gemacht hast.

10.09.2006, 16:21

derkoch

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das integral auf der rechten seite ist falsch!!

10.09.2006, 16:36

irre.flexiv

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Nochmal wegen deinem P.S. Kannst du mal bitte Schritt für Schritt schreiben wie du von $\begin{eqnarray*} (1+x^2)y' = 2xy \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ \frac{dy}{y} = \int_{}^{}~ \frac{2x}{1+x^2} dx \end{eqnarray*}$ kommst.

Hab da nen Verdacht das du ne Kleinigkeit falsch machst.

10.09.2006, 16:49

Basti79

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Das ist mal eine schnelle Antwort!
Ich glaube, ich muß dringenst Übung in das Aufleiten kriegen!

Hier meine neu überdachte Lösung:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ \frac{dy}{y} = \int_{}^{}~ \frac{2x}{1+x^2} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ln\mid y \mid = ln\mid x^2 +1 \mid +c \end{eqnarray*}$

Also lautet die Konstante

$\begin{eqnarray*} c= ln\mid y \mid - ln \mid x^2 +1 \mid = ln\mid 2 \mid - ln \mid 1 \mid \end{eqnarray*}$

und das kann ich doch als

$\begin{eqnarray*} c= ln\mid \frac{2}{1} \mid \end{eqnarray*}$ schreiben, oder nicht?

@irre.flexiv: Den Anfang habe ich so gerechnet: Erst habe ich die Variablen getrennt, dann habe ich $\begin{eqnarray*} y^{,} \end{eqnarray*}$ ersetzt:

$\begin{eqnarray*} y^{,}=\frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$

Oder hab ich da mal wieder was falsch verstanden?

Gruß

Basti

EDIT: Hatte ein Leerzeichen vergessen, somit ergab sich ungewollt ein Smilie; wurde nun geändert!

10.09.2006, 17:07

irre.flexiv

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Zitat:

Erst habe ich die Variablen getrennt, dann habe ich $\begin{eqnarray*} y^{,} \end{eqnarray*}$ ersetzt

Aber vergiss nicht das dx und dy auch dazugehören. Also alle x und dx auf eine Seite dann alle y und dy auf die andere. Mit dx und dy kannst du beim Umformen wie mit normalen Variablen rechnen. Dann kannst du integrieren.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ln\mid y \mid = ln\mid x^2 +1 \mid +c \end{eqnarray*}$

Da ist aber noch nicht Schluß Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bitte noch einmal exp anwenden. Du willst ja schließlich y allein auf der linken Seite stehen haben oder?

10.09.2006, 17:17

Basti79

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Also lautet die letztliche Lösung

$\begin{eqnarray*} y = x^2 + 3 \end{eqnarray*}$ (?)

Und der Schritt $\begin{eqnarray*} y^{,} = dy/dx \end{eqnarray*}$ ist also ok, oder?

Gruß

Basti

10.09.2006, 17:39

irre.flexiv

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Zitat:

Und der Schritt $\begin{eqnarray*} y^{,} = dy/dx \end{eqnarray*}$ ist also ok, oder?

Ja das ist richtig.

Du hast wieder ein paar Fehler eingebaut =)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ln\mid y \mid = ln\mid x^2 +1 \mid +c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e^{ln\mid y \mid} = e^{ln\mid x^2 +1 \mid +c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mid y \mid = \mid x^2 +1\mid \cdot e^c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y = (x^2 +1) \cdot e^c \end{eqnarray*}$

Jetzt ist y(0) = 2 also

$\begin{eqnarray*} 2 = (0^2 +1 )\cdot e^c \Rightarrow c = ln2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = (x^2 + 1) \cdot 2 \end{eqnarray*}$

10.09.2006, 17:49

Basti79

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Mist, Du hast es mir schon erklärt und ich mach es trotzdem falsch Hammer

Hammer

Zitat:

Original von irre.flexiv

Abgesehen davon ist $\begin{eqnarray*} e^{a+b} \not = e^a + e^b \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich werd mir mal eine eigene 'Formelsammlung' erstellen, die dann alle meine typischen Fehler verhindert!

So, dann lasse ich die AWPs mal für ein paar Tage ruhen ( das Grundprinzip habe ich ja vorerst verstanden ) und lese mich mal in die Fehlerrechnung ein!

Gruß

Basti

10.09.2006, 17:51

irre.flexiv

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Ach da kommt die 3 her *g* na dann war es ja doch nur ein Fehler smile

smile

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