Grenzwert einer Folge

22.02.2009, 15:08	Wusel	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Folge Hallöschen habe wie ich glaube eigentlich ein triviales Problem, aber irgendwie, scheine ich doch einen Denkfehler zu haben, weil irgendwie passt das nicht so, wie es soll. Aufgabe: $\begin{eqnarray} \text{ Es sei (} a_{n} \text{)} n \in N \text{die Folge mit Gliedern:} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n} = \sum_{k=1}^n \frac{k^{2}}{n^{3}+k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{ Zeigen Sie, dass diese Folge konvergiert und den Grenzwert} \lim_{n \to \infty}a_n=\frac{1}{3} \text{ hat.} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \text{Ich weiß natürlich, dass} \sum_{k=1}^n k=\frac{n^{2}+n}{2} \text{ und } \sum_{k=1}^n k^{2} = \frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6} \text{ ist. } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Ich tue mich nun allerdings schwer das ganze auf die Summe anzuwenden. Der geforderte Grenzwert ist ja schon zu erahnen in diesen Summen.} \end{eqnarray}$ Über einen kleinen Hinweis würde ich mich freuen.
22.02.2009, 15:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe dir eine Ungleichung hin, die du dann begründen darfst und die dir anschließend weiter helfen sollte. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~\frac{k^2}{n^3+n}\leq a_n\leq\sum_{k=1}^n~\frac{k^2}{n^3} \end{eqnarray}$ .
22.02.2009, 15:40	Wusel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm ... Yammi Sandwich Ich würde als Begrüdung anbringen, dass $\begin{eqnarray} 0 \le k \leq n \end{eqnarray}$ Das heißt, wenn man k im Nenner der unteren Folge konstant maximal macht wird der ganze Term kleiner und damit auch die Folge. Bei der oberen Folge wird dann halt k im Nenner minimal gemacht und damit der Ganze Term größer und damit auch die Folge. Supi, danke. Nun kann ich ja einfach die Summe in den Zähler zerren, Formel ansetzen und Grenzwert bilden.
22.02.2009, 15:43	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so ist es.

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