problem mit ableitungsfunktion/grenzwert des differenzialquotienten

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22.02.2009, 17:13	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
problem mit ableitungsfunktion/grenzwert des differenzialquotienten Hi Leute, ich habe folgendes Problem ich schreibe morgen einen Test und habe noch Probleme mit zwei Aufgaben typen. 1) von folgender aufgabe eine ableitung bilden, wie bekomme ich den bruch weg und was mach ich mit der $\begin{eqnarray} 2x^{-2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{5x^{2}-2x^{-2}}{3x^{5} } \end{eqnarray}$ 2)grenzwert des differenzialquotienten f(x)=(x-3)³ für x -> x0 an der stelle x0=2 habt ihr da vllt. eine schon ausgerechnet bsp. aufgabe? würde mich über hilfe und beispiele freuen! vlg boa
22.02.2009, 17:19	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: problem mit ableitungsfunktion/grenzwert des differenzialquotienten Es gilt: $\begin{eqnarray} \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \end{eqnarray}$ Außerdem benötigst du folgende Regel: $\begin{eqnarray} x^{-n}=\frac{1}{x^n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=x^{-2} \end{eqnarray}$ leitet man nach den dir bekannten Ableitungsregeln ab. $\begin{eqnarray} f(x)=x^n\Rightarrow n\cdot x^{n-1} \end{eqnarray}$ zu 2) Stell den Differenzenquotienten doch mal auf. Wir helfen dir dann weiter.
22.02.2009, 17:29	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke! also bei den bsp wäre das denn... $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{10x}{15x^{4}} - \frac{-4x^{-3}}{15x^{4}} \end{eqnarray}$ ist das so richtig?
22.02.2009, 17:38	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{10x}{15x^{4}} - \frac{-4x^{-3}}{15x^{4}} \end{eqnarray}$ Die Ableitung stimmt nicht. Ich vereinfache mal für dich: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{5x^2-2x^{-2}}{3x^5}=\frac{5}{3}x^{-3}-\frac{2}{3}x^{-7} \end{eqnarray}$ Das solltest du ableiten können.
22.02.2009, 17:39	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein du musst davor noch kürzen. Du kannst nur bei Summen gliedweise differenzieren ...
22.02.2009, 17:43	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
oh ok also... $\begin{eqnarray} f'(x)=5x^{-4}+\frac{14}{3} x^{-8} \end{eqnarray}$ aber wie kommst du auf -3/-7???
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22.02.2009, 17:46	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung stimmt immer noch nicht ganz. Richtig ist: $\begin{eqnarray} f'(x)=-5x^{-4}+\frac{14}{3}x^{-8} \end{eqnarray}$ Das sind Potenzgesetze: Es gilt: $\begin{eqnarray} \frac{x^m}{x^n}=x^{m-n} \end{eqnarray}$
22.02.2009, 17:58	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
ok das minus habe ich vergessen >.< ah ok verstehe, zum glück stehen die gesetze im tafelwerk.^^ zu 2: wie muss ich denn da genau anfangen?
22.02.2009, 18:00	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lautet der Differenzenquotient denn allgemein? Das habt ihr euch doch bestimmt aufgeschrieben
22.02.2009, 18:50	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
ich war in genau der woche krank wo wir das eingeführt haben und versuche jetzt seit ein paar tagen alles aufzuarbeiten... könntest du mir nicht eine formel geben oder so >.<
22.02.2009, 18:55	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray}$ Setze deine Funktion dort ein und bestimme den Grenzwert. Ich zeige dir das Mal an dem Beispiel $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\lim_{h \to 0} 2x+h=2x \end{eqnarray}$ Du musst natürlich für x=2 einsetzen, da du die Ableitung an der Stelle 2 haben möchtest.
22.02.2009, 19:17	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke! also... $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} x \frac{f(h+x-3)³-f(x-3)³}{h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} x \frac{(h+x-3)³-(x-3)³}{h} \end{eqnarray}$ richtig soweit??
22.02.2009, 19:23	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{(h+x-3)³-(x-3)³}{h} \end{eqnarray}$ Das stimmt bislang soweit. Alles andere nicht. Übrigens mach das x vor dem Bruch weg. Wie gesagt du darfst für x auch 2 einsetzen.
22.02.2009, 19:35	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
ok^^ gut...danke für deine geduld! $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{(h+2-3)³-(2-3)³}{h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{(h-1)³-(-1)³}{h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{h³-2}{h} \end{eqnarray}$ wie bekomme ich jetzt unten das h weg >.< (h=0 setzen??)
22.02.2009, 19:38	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme auf $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{h³-3h^2+3h}{h} \end{eqnarray}$ Wie hast du denn $\begin{eqnarray} (h-1)^3 \end{eqnarray}$ aufgelöst?
22.02.2009, 19:43	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
oh da hätte ich die binomischen formeln nehmen müssen oder? also $\begin{eqnarray} (h-1)^3 \end{eqnarray}$ = h³+2h+1 ??? ((a-b)²=a²-2ab+b²) oder ?
22.02.2009, 19:45	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (h-1)^3=(h-1)(h-1)(h-1)=(h-1)^2(h-1) \end{eqnarray}$ So kannst du es versuchen aufzulösen.
22.02.2009, 19:54	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
(h²+2h+1)*(h-1)=h³+2h²+h-h²-2h-1=h³+h²-h-1 jetzt richtig???
22.02.2009, 20:05	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (h-1)^2=h^2-2h+1 \end{eqnarray}$ Also nochmal ab hier: $\begin{eqnarray} (h^2-2h+1)(h-1)=... \end{eqnarray}$
22.02.2009, 20:12	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
ach so das minus vor der 1 muss man nicht beachten >.< h³-2h²+h-h²+2h-1=h³-3h²+3h-1 und jetzt noch +1 = $\begin{eqnarray} \frac{h³-3h²+3h}{h} \end{eqnarray}$
22.02.2009, 20:15	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja
22.02.2009, 20:18	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich jetzt die polynomendivison machen?
22.02.2009, 20:24	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst einfach durch h kürzen.
22.02.2009, 20:31	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
h(h²-3h+3) / h = h²-3h+3 so in etwa??
22.02.2009, 20:37	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja richtig und jetzt musst du noch h gegen 0 laufen lassen und du bist fertig.
22.02.2009, 20:40	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
also so? $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} = 3 \end{eqnarray}$ das ist dann das endergebniss?
22.02.2009, 20:47	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist das Endergebnis.
22.02.2009, 20:54	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
cool big thx!!!^^ habe noch eine kleine frage (zu eins) wenn ich z.b. $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x²-4}{4-x²} \end{eqnarray}$ also wenn unten auch eine zahl steht... habe keine regel dafür finden können...
22.02.2009, 20:57	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Was willst du denn damit machen? Ableiten?
22.02.2009, 20:59	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
genau!^^
22.02.2009, 21:02	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x^2-4}{-x^2+4}=-\frac{x^2-4}{x^2-4}=-1 \end{eqnarray}$
22.02.2009, 21:08	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
ö.Ö okay.... und die -1 dann ableiten? 0???
22.02.2009, 21:09	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »

22.02.2009, 21:11	Boa	Auf diesen Beitrag antworten »
supi!!! nochmal danke!

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