Funktionalgleichung

22.02.2009, 16:46

Liz2103

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Funktionalgleichung

Moin!

Hier meine aufgabe:

Finden Sie alle Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} f\left(x\right)+f\left(\left[x\right]\right)\cdot f\left(\left|x\right|\right)=x, \forall x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

[x] bezeichnet den ganzen Anteil von x und
|x| bezeichnet den Bruchteil von x

Ich habe leider gar keinen Ansatz wie ich an eine solche art von Aufgabe rangehen soll. Ich habe mir die Aufgabe lange angeguggt und mir ist natürlich spontan keine lösung eingefallen. Wenn ich eine Funktion wüsste, könnte ich wahrscheinlich ohne Probleme beweisen, das die Gleichung für die Funktion gilt. Jedoch finde ich leider keine Funktion. Hat jemand einen Tip für mich. Oder noch besser einen guten Ratschlag wie man bei solchen Aufgaben vorgehen könnte?

Vielen Dank

22.02.2009, 19:33

Dual Space

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RE: Funktionalgleichung
Mach doch mal folgende Fallunterscheidung:

1) x ist ganzzahlig.

2) x ist nicht ganzzahlig und 0<x<1.

Dann hast du schon mal eine Ahnung, welche Funktionen das gewünschte gewährleisten.

Zeige nun, dass die einzige(!) Funktion, die die Funktionalgleichung in den Fällen 1) und 2) erfüllt versagt, falls 1<x<2 ist.

23.02.2009, 01:06

Liz2103

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RE: Funktionalgleichung
Folgendes habe ich gemacht:

Fall 1: x ist ganzzahlig

somit gilt: $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot f\left(0\right)=x \end{eqnarray*}$

wenn nun f(x)=x so gilt:

$\begin{eqnarray*} f\left(x\right)+x\cdot 0=x \end{eqnarray*}$
und f(x)=x ist richtig (war ja die voraussetzung)

Fall 2: x ist nicht ganzzahlig und 0<x<1
so gilt: $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)+f\left(0\right)\cdot f\left(x\right)=x \end{eqnarray*}$ womit wir wieder Fall 1 hätten.

Gilt: 1<x<2 so kann man mit einem Gegenbeispiel zeigen, das die Funktion f(x)=x nicht für die Gleichung gilt.
x=1.5
$\begin{eqnarray*} f(1.5)+f(1)\cdot f\left(0.5\right)=1.5\\ 1.5+0.5=1.5 \end{eqnarray*}$

Widerspruch!!!!

Also müsste ich jetzt noch zeigen, das f(x)=x die einzige Funktion ist, die die Gleichung erfüllt?! Aber trotzdem ist die Funktion nicht ausreichend, um die Funktionalgleichung für alle reellen x zu erfüllen. Bedeutet das nun das es keine Funktionen gibt, die das tun? oder hab ich da nen Denkfehler? Ich weiss nicht ob das wichtig ist, aber es muss keine stetige Funktion sein, die diese Gleichung erfüllen soll. Eine Rückmeldung wäre prima, denn irgendwie bin ich jetzt ein wenig ratlos, wie ich mit meinem Ergebnis umgehen soll!

Dankeschön!

23.02.2009, 01:31

Liz2103

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RE: Funktionalgleichung
Ich hab da nochmal ein bisschen drüber nachgedacht, könnte ich nicht auch die folgende Funktion nehmen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}0& \forall x\notin \mathbb{Z}\\x& ansonsten\end{cases} \end{eqnarray*}$

denn wenn x ganz ist wurde ja schon gezeigt, das die gleichung gilt. Aber wenn x nicht ganz ist, und f(x)=0 ist gilt die Gleichung wieder. Oder habe ich jetzt irgendwie die Aufgabe verfehlt? Außerdem weiss ich dann immer noch nicht ob es nicht auch andere Funktionen gibt, die die Gleichung erfüllen. Da diese Funktion unstetig ist, kann ich das auch nciht so leicht zeigen. Oder?

23.02.2009, 08:56

Liz2103

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RE: Funktionalgleichung
hm. Also bei Tageslicht betrachtet, ist mein letzter Beitrag schwachsinn. Bitte beantworte doch nur noch mal den oberen!
Danke

23.02.2009, 09:34

AD

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Zitat:

Original von Liz2103
Fall 1: x ist ganzzahlig

somit gilt: $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot f\left(0\right)=x \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf? Nein, zunächst ist

$\begin{eqnarray*} f(x) + f(x)\cdot f(|x|) = x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Gilt zusätzlich $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ (d.h. insgesamt $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ), dann wird daraus

$\begin{eqnarray*} f(x) + (f(x))^2 = x \end{eqnarray*}$ ,

im anderen Fall $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ hingegen

$\begin{eqnarray*} f(x) + f(x)f(-x) = x \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Vergesst den Quatsch, hab nochmal deinen Originalbeitrag genau gelesen. Wer bezeichnet denn aber auch den Bruchteil mit $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ , da ist die Verwechslungsgefahr mit dem Betrag ja geradezu vorprogrammiert. unglücklich

unglücklich

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23.02.2009, 10:43

Liz2103

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tschuldigung! Gott

Gott

Ich hab das irgendwie nicht hinbekommen, mit geschweiften Klammern, das ist mir aber erst später aufgefallen, als der eintrag schon geschrieben war. da ich ja nicht ohne begrenzung editieren darf, bin ich ein wenig in stress geraten und habs dann halt so blöde bezeichnet. Sorry, das hab ich verbockt. Also wenn du das noch editieren möchtest, kannst, willst, wäre das schön.

Danke!

23.02.2009, 11:11

WebFritzi

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RE: Funktionalgleichung

Zitat:

Original von Dual Space
Mach doch mal folgende Fallunterscheidung:

1) x ist ganzzahlig.

2) x ist nicht ganzzahlig und 0<x<1.

Dann hast du schon mal eine Ahnung, welche Funktionen das gewünschte gewährleisten.

Zeige nun, dass die einzige(!) Funktion, die die Funktionalgleichung in den Fällen 1) und 2) erfüllt versagt, falls 1<x<2 ist.

Guter Ansatz, aber leider einer falsche Folgerung. Die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = x - [x]\cdot |x| \end{eqnarray*}$

erfüllt die Funktionalgleichung (und ist übrigens auch die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft). Der Betrag steht hier für den "Bruchteil" der Zahl x.

23.02.2009, 13:42

AD

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Eine nett anzuschauende Funktion:

23.02.2009, 13:53

Liz2103

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Also muss ich jetzt mithilfe der Stetigkeit, beweisen das die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x-[x]\cdot|x| \end{eqnarray*}$ die einzige Funktion ist, für die die Funktionalgleichung gilt?!
Wie bist du denn überhaupt auf diese Lösung gekommen? Durch ausprobieren und scharfes Hinsehen? oder gibt es da einen Trick?
LG

23.02.2009, 14:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von Liz2103
Also muss ich jetzt mithilfe der Stetigkeit, beweisen das die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x-[x]\cdot|x| \end{eqnarray*}$ die einzige Funktion ist, für die die Funktionalgleichung gilt?!

Wie kommst du denn jetzt plötzlich auf Stetigkeit??? Wie du im Schaubild von Arthur sehen kannst, ist die Funktion nicht stetig.

Zitat:

Original von Liz2103
Wie bist du denn überhaupt auf diese Lösung gekommen? Durch ausprobieren und scharfes Hinsehen? oder gibt es da einen Trick?

Dual Space hat dir bereits ganz am Anfang vorgeschlagen, wie du vorgehen kannst. Offenbar hast du das noch nicht gemacht.

23.02.2009, 14:18

Liz2103

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Ja stimmt. Irgendwie habe ich das alles anscheinend noch nicht ganz begriffen. also die Funktion ist nicht stetig. weil zbsp. bei x=2 der Grenzwert für 1<x<2 y=1 wäre, das aber nicht mit dem Funktionswert übereinstimmt. Oder? na okay, ich hab die Schritte von dual space schon durchgeführt. Aber wie er auch geschrieben hat, hab ich für werte zwischen 1 und 2 keine Lösung gehabt. Naja so bin ich auf jeden Fall nicht zur Lösung gelangt (siehe oben). Dann weiss ich leider auch nicht wie ich beweisen kann, das die Funktion die einzige Lösung ist, da ich ja nicht mit Stetigkeit argumentieren kann.

Vielen Dank euch auf jeden Fall schonmal.

23.02.2009, 14:21

Leopold

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Es müßte noch geklärt werden, wie die Funktionen für negative x definiert sind. Ist zum Beispiel

ganz(-3,6)=-4 oder ganz(-3,6)=-3 ???

bruch(-3,6)=0,6 oder bruch(-3,6)=-0,6 oder bruch(-3,6)=0,4 ???

23.02.2009, 14:30

WebFritzi

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Ich würde sagen

ganz(-3.6) = -3 und bruch(-3.6) = -0.6 (so dass stets ganz + bruch = id gilt).

23.02.2009, 14:36

Leopold

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Und was würde Liz2103 sagen? Bitte alle Angaben der Aufgabe mitteilen.

23.02.2009, 14:41

Liz2103

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ich glaube so webfritzi es sagt ist es richtig. Ich habe die komplette Aufgabenstellung reingestellt. Mehr wurde auch mir nciht gegeben.

23.02.2009, 14:51

WebFritzi

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Doch, das glaube ich schon. Man muss ja erst die Symbole definieren, die man benutzt. Daran wird sich auch dein Prof (bzw. der Aufgabensteller) gehalten haben. D.h., die Funktionen wurden entweder in der Vorlesung oder im Skript definiert.

23.02.2009, 15:31

Liz2103

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Da wir zu diesem Thema keine Vorlesung hatten, gibt es dazu weder skript noch Mitschriften. Allerdings wurd die Gaußklammer (Treppenfunktion) besprochen.
Nämlich [x]= die größte ganze Zahl die kleiner oder gleich x ist. also gilt für [-3.5]=-4
Für den Bruchteil weiß ich keine Definition.

23.02.2009, 18:54

Dual Space

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RE: Funktionalgleichung

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Dual Space
Mach doch mal folgende Fallunterscheidung:

1) x ist ganzzahlig.

2) x ist nicht ganzzahlig und 0<x<1.

Dann hast du schon mal eine Ahnung, welche Funktionen das gewünschte gewährleisten.

Zeige nun, dass die einzige(!) Funktion, die die Funktionalgleichung in den Fällen 1) und 2) erfüllt versagt, falls 1<x<2 ist.

Guter Ansatz, aber leider einer falsche Folgerung.

Ja leider ... traurig

traurig

... danke für die Korrektur. Freude

Freude

24.02.2009, 17:18

Liz2103

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sorry, aber ich hab leider immer noch keine Idee wie ich das jetzt beweisen kann. Also das die Funktion stimmt, ist ja einleuchtend und leicht zu beweisen, aber warum gibt es keine andere Funktion die diese Funktionalgleichung erfüllt? Mir ist zwar klar, das für alle ganzen Zahlen und für alle Bruchzahlen 0<x<1 f(x) =x gelten muss. Das würde aber bedeuten, das bei allen anderen Zahlen, der Teil [x]*|x| "zuviel" wäre. Also wird dieser Teil abgezogen, da dieser Teil sowieso null ist, wenn es sich um eine ganze Zahl handelt.
Naja, nun habe ich leider keinen Ansatz wie ich weiter vorgehen könnte. Für einen Tipp wäre ich Dankbar. (falls ihr mir den schon gegeben habt und ich es einfach nicht bemerke bitte nocheinmal darauf hinweisen!)

Vielen Dank

24.02.2009, 18:07

WebFritzi

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Zitat:

Original von Liz2103
Mir ist zwar klar, das für alle ganzen Zahlen und für alle Bruchzahlen 0<x<1 f(x) =x gelten muss.

Damit hast du doch eigentlich schon alles, was du brauchst. Es gilt also

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$f(x) = x$ für alle $x\in\mathbb{Z}\cup [0,1]$.\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Was sind dann also f([x]) und f(|x|) für reelles x? Setze das in die Funktionalgleichung ein, und löse nach f(x) auf. Fertig. smile

smile

24.02.2009, 18:26

Liz2103

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okay, also gilt $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=x, \forall x\in\mathbb{Z}\cup[0,1] \end{eqnarray*}$

gesucht: $\begin{eqnarray*} f\left([x]\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(|x|)\text{ } \forall x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

da ja für die ganzen Zahlen gilt:
f(x)=x, kann ich schreiben: $\begin{eqnarray*} f([x])=[x] \text{ }\forall x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

ähnliches gilt für den Bruchteil, denn wenn 0<x<1 gilt
f(x)=x, so kann ich schreiben: $\begin{eqnarray*} f(|x|)=|x|\text{ }\forall x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

setzte ich das in meine Funktionalgleichung ein, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x-[x]\cdot |x|\text{ }\forall x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Naja und jetzt ist ja auch klar, das es keine andere Lösung geben kann. Ich glaub ich habs begriffen. Tanzen

Tanzen

Vielen vielen Dank, für die Mühe und Geduld!!! smile

smile

24.02.2009, 18:30

WebFritzi

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Genauso meinte ich es. Sehr schön. smile

smile

25.02.2009, 09:21

Liz2103

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Tut mir leid, dass ich zu dieser Aufgabe nochmal nerven muss. Aber ich bin beim Abschreiben der Lösung nochmal über etwas gestolpert. Und zwar fusst ja mein Beweis darauf, dass f(0)=0 ist. Aber eigentlich könnte f(0)=-1 sein. Ich zeig mal warum:

es gilt: $\begin{eqnarray*} f(0)+f(0)\cdot f(0)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)+f^2(0)=0 \end{eqnarray*}$

Setze t=f(0)
$\begin{eqnarray*} t^2+t=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(t+1)=0\\ t_1=0 t_2=-1 \end{eqnarray*}$

Nun bin ich ein bisschen fraglos, warum ich hier behaupten kann, dass f(0)=0 gilt und nicht f(0)=-1. oder ist das unerheblich für den Beweis, da ja sonst gilt,

f([x])(1+f(0))=[x]

und dann fällt die Klammer weg, egal ob f(0)=0 oder f(0)=-1.

Ist das richtig?

EDIT: Ich merke gerade, dann würde ich ja für alle ganzen Zahlen 0 heruasbekommen. Also irgendwie sollte f(0)=0 schon gelten. Aber der Beweis dazu fehlt mir.

25.02.2009, 09:31

Liz2103

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Tschuldigung, ich glaube ich schreibe ein bisschen überhastet hier rein. f(0)=-1 kann nich wahr sein, da ich sonst 0=[x] bekomme und das stimmt nicht!
Euch noch nen schönen Tag.

25.02.2009, 09:34

Leopold

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Schließe indirekt: Gälte $\begin{eqnarray*} f(0)=-1 \end{eqnarray*}$ , dann folgte gemäß Funktionalgleichung für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(1) + f(1) \cdot f(0) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1) - f(1) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 1 \end{eqnarray*}$

Dieser Fall kann also nicht eintreten.

25.02.2009, 09:54

Liz2103

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Okay, dankeschön. Dann ist diese Aufgabe jetzt hoffentlich abgeschlossen smile

smile

25.02.2009, 10:00

Dual Space

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Übrigens eine sehr gelungene Aufgabe, meiner Meinung nach. Also auch mal ein großes Lob an den unbekannten Aufgabensteller. Blumen

Blumen

25.02.2009, 10:22

Liz2103

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Da wird sich der Aufgabensteller freuen Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.02.2009, 14:15

WebFritzi

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Mal davon abgesehen, dass er seine Symbole nicht definiert hat...

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