Induktionsbeweis - Problem mit Potenzen

22.02.2009, 17:53

u.a.s

Induktionsbeweis - Problem mit Potenzen

Hallo,

Ich habe hier eine Aufgabe, wobie ich einen Zwischenschritt nicht verstehe.

Die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} Sn= 1+2+2^{2}+...+ 2^{n-1}= 2^{n}-1 \end{eqnarray*}$

Für n=1 (1.Induktionsschritt):

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1~ 2^{1-1}= 2^{1}-1 \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1~2^{n-1} = 2^{n}-1 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~2^{n-1}=2^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$

Für n=n+1 (2.Induktionsschritt):

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~2^{n-1}+2^{(n+1)-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2^{n}-1 +2^{(n+1)-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2^{n}-1+ 2^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2* 2^{n}-1 \end{eqnarray*}$ <-----

$\begin{eqnarray*} =2^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$

Wo der rote Pfeil ist, wie kommt man auf 2*2^n ? Ist es vielleicht eine bestimmte Potenzregel, oder hat man den Exponenten n irgendwie ausgeklammert ?!

22.02.2009, 18:06

Q-fLaDeN

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Ich hab mir den gesamten Beitrag jetzt nicht genauer angeschaut, aber:

$\begin{eqnarray*} 2^n-1+2^n = 2^n+2^n-1 = 2 \cdot 2^n-1 \end{eqnarray*}$

Genau so wie $\begin{eqnarray*} x + x = 2x \end{eqnarray*}$ ist, ist auch $\begin{eqnarray*} 2^n+2^n = 2 \cdot 2^n \end{eqnarray*}$

Achja, du behauptest also, dass $\begin{eqnarray*} n = n+1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} 1 = 0 \end{eqnarray*}$ unglücklich

Ich würde eher auf $\begin{eqnarray*} n \to n+1 \end{eqnarray*}$ zurückgreifen Augenzwinkern

22.02.2009, 18:15

u.a.s

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Sorry, das ist mir immer noch nicht ganz klargeworden.

Die Potenregel lautet doch:

$\begin{eqnarray*} a^{n} + a^{m} = a^{n+m} \end{eqnarray*}$

Also in diesem Falle muss es doch $\begin{eqnarray*} 2^{2n} \end{eqnarray*}$ sein oder nicht? verwirrt

Wegen der Definition von n war ein Schreibfehler von mir. Hammer

22.02.2009, 18:48

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von u.a.s
$\begin{eqnarray*} a^{n} + a^{m} = a^{n+m} \end{eqnarray*}$

Nein, $\begin{eqnarray*} a^n \cdot a^m = a^{n+m} \end{eqnarray*}$

22.02.2009, 19:20

u.a.s

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Ja natürlich...

Aber trotzdem bin ich immer noch nicht im Klaren. unglücklich

Beispiel: $\begin{eqnarray*} x^ {2} +x^ {2} \end{eqnarray*}$ ergibt = $\begin{eqnarray*} 2x^ {2} \end{eqnarray*}$ , d.h die Basiszahlen wurden miteinander addiert.

Das muss doch wiederum in unserem Beispiel $\begin{eqnarray*} 4^ {n} \end{eqnarray*}$ ergeben ?!

22.02.2009, 20:04

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Also du hast wirklich gewaltige (mathematische Augenzwinkern

) Potenzprobleme:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^n = 2 \cdot (2^n) \end{eqnarray*}$ ist doch was völlig anderes als $\begin{eqnarray*} (2\cdot 2)^n = 4^n \end{eqnarray*}$ .

22.02.2009, 21:36

u.a.s

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Hehe, danke für das "mathematische" in Klammern setzen Zunge

Aber trotz meiner "Potenzproblemen" Big Laugh

, bin durch ein Wunder nun selbst darauf gekommen.(Nachdem ich das mit x*x=2x verstanden habe Big Laugh

)

Also meine Theorie:

Es ist nichts anderes als $\begin{eqnarray*} 1*1=1 --> 1^ {1} * 1^{1}=1^{1+1}=1^{2}=1 \end{eqnarray*}$

Das ist nichts anderes als in unserem Beispiel $\begin{eqnarray*} 2^ {n+1}= 2^ {1} *2^ {n} \end{eqnarray*}$

Hab mich wegen der Basiszahl 2 irretieren lassen, deswegen der Fehler mit $\begin{eqnarray*} 4^ {n} \end{eqnarray*}$ . Hammer

Danke nochmals an die Editoren für die Gedankenanreize Wink

23.02.2009, 11:18

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von u.a.s
(Nachdem ich das mit x*x=2x verstanden habe Big Laugh

)

Wenn du das verstehst, dann ist das nicht gut. Denn $\begin{eqnarray*} x \cdot x = x^2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Man kann das ganze auch mit dem Distributivgesetz "erklären":

$\begin{eqnarray*} 2^n+2^n = 1 \cdot 2^n + 1 \cdot 2^n = (1+1) \cdot 2^n = 2 \cdot 2^n \end{eqnarray*}$

23.02.2009, 11:41

u.a.s

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... und wieder ein neuer Verschrieber von mir. böse

Damit meinte ich, oder wollte ich meinen: $\begin{eqnarray*} x+x=2x \end{eqnarray*}$

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