Fläche mit Determinante vergleichen.

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Panda_ Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche mit Determinante vergleichen.
Hallo zusammen

Noch eine kurze Aufgabe und zwar gilt es die Fläche eines Parallelogramms, aufgespannt von 2 Vektoren a,b in IR^2,bezeichnet als F(a,b), mit der det(a,b) zu vergleichen.

Die Determinante wäre ja a_1b_2 - a_2b_1 oder?

Wie komme ich auf die Fläche vom Parallelogramm?

Danke
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Fläche ist der Absolutbetrag der Determinante.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der (Absolut-)Wert der Determinante IST die Fläche des Paralellogrammes! Warum?
[Das muss/kann man begründen ..]

mY+
Panda_ Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Beiträge, aber ich habe jetzt nochmal lange nachgedacht und komme nicht drauf, wie ich das vernünftig zeigen kann...
Hat mir jemand einen Ansatz?
Herbststurm Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Aufgabe ist etwas tricky da man in der Mathematik nur mit dem Arbeiten soll was man bereits eingeführt hat. Geometrisch lässt sich das Problem aber leicht lösen.

1.) Zeichne ein beliebiges Paralellogramm.

2.) Lege um jenes Paralellogramm ein Rechteckt. So eines lässt sich immer finden.

Dann kannst du die Flächenstücke splitten(Dreiecke) berechnen. So bekommst letzlich die Fläche des Paralellorgrammes heraus und du wirst sehen, dass das exakt der Determinante einer 2x2 Matrix entspricht.

Gruß
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht (auch) mit dem Vektorprodukt. Wir legen die beiden Vektoren vorübergehend in den , bei diesen sind dann die dritten Koordinaten alle Null. Der Betrag des Vektorproduktes entspricht definitionsgemäß dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogrammes.
Das Vektorprodukt besteht nun aus drei Determinanten und weil alle x3 gleich Null sind, haben zwei davon den Wert Null. Der Produktvektor hat nun die Koordinaten



und dessen Betrag ist jetzt genau diese Determinante!




mY+
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos



Und das ist klar, oder wie? geschockt Für mich ist das nur ein Umschreiben der Aufgabe.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ mYthos

Ich stimme WebFritzi zu. Hier trivialisierst du eine Aufgabe, indem du sie als Spezialfall einer viel schwerer zu beweisenden Formel identifizierst.


@ Panda_

Wie es elementargeometrisch funktioniert, hat Herbststurm bereits beschrieben. Lediglich die Fallunterscheidungen, die man je nach Orientierung der Vektoren durchgehen muß, können abschrecken. (Falls man nicht alle Augen zudrückt und nur einen typischen Fall behandelt, so nach der Methode: Die anderen Fälle gehen analog.)

Man kann auch Eigenschaften der Determinante verwenden: Zu den das Parallelogramm aufspannnenden Vektoren bestimmt man Vektoren und mit

(1) sind linear abhängig

(2)

(3)

Mache dir eine Skizze.

Dann setzt man (3) ein:



Jetzt verwende die Linearität der Determinante im zweiten Argument und dann (1), um zu vereinfachen. Beachte schließlich noch



wobei für ist (Drehung des Vektors um 90°) und der Punkt das Skalarprodukt bezeichnet. Und wegen (2) sind und linear abhängig. Was heißt das für das Skalarprodukt?

Schöner ist natürlich Herbststurms Vorschlag.
outSchool Auf diesen Beitrag antworten »



























WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm bitte sofort wieder deine Komplettlösung raus!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt auch noch ein dritter Ansatz. Dann wird es wohl klappen. Big Laugh
outSchool Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Nimm bitte sofort wieder deine Komplettlösung raus!

Nachdem sich der Threadsteller nicht mehr gemeldet hat, dient die Lösung dem allgemeinen Interesse.
Vielleicht hast du einen Vorschlag, wie man dies auf die dritte Dimension erweitern kann.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von outSchool
Zitat:
Original von WebFritzi
Nimm bitte sofort wieder deine Komplettlösung raus!

Nachdem sich der Threadsteller nicht mehr gemeldet hat


Seit einem Tag. Sowas dauert manchmal 2 Tage oder noch länger.

Im Beitrag vor dir hat Leopold sich Gedanken darüber gemacht, wie er Tipps geben kann, ohne die Komplettlösung zu verraten. Und dann kommst du und machst all dies zunichte. Ganz davon abgesehen, dass Komplettlösungen hier eh nicht gut angesehen sind, ist das IMHO kein angebrachtes Verhalten. Ich bitte dich daher nochmal: nimm das raus. Übermorgen oder so kannst du es ja wieder reinstellen, aber jetzt ist es eindeutig zu früh.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von mYthos



Und das ist klar, oder wie? geschockt Für mich ist das nur ein Umschreiben der Aufgabe.


@WebFritzi
Höflichkeit ist nicht gerade deine Stärke, aber das ist ja bekannt. Wie schon öfter - eine eher unfreundliche Replik von dir!

Ich sehe das etwas anders. Auch trivialisiert wurde m.E. hier nichts.
Wieso darf man diese Eigenschaft der Definition des Vektorproduktes nicht voraussetzen?

Definitionsgemäß ist der Betrag des Vektorproduktes gleich der Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogrammes. Dies ist eine der drei Eigenschaften des Vektorproduktes. Alle diese drei waren natürlich bei Definition des Vektorproduktes zu berücksichtigen und die Beweise wurden auch geführt. Daher haben wir das Rad nicht neu zu erfinden.

Übrigens kann die Determinanteneigenschaft der Fläche A auf noch einem anderen Weg gezeigt werden:




---------------------------------------------




Nun sind die allgemeinen Koordinaten der beiden Vektoren einzusetzen, auszumultiplizieren und zu vereinfachen.

mY+
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von mYthos



Und das ist klar, oder wie? geschockt Für mich ist das nur ein Umschreiben der Aufgabe.


@WebFritzi
Höflichkeit ist nicht gerade deine Stärke, aber das ist ja bekannt. Wie schon öfter - eine eher unfreundliche Replik von dir!


Es war nicht unhöflich gemeint. Wie hätte ich es denn höflicher ausdrücken sollen? Ich habe lediglich deinen Beitrag kritisiert. Also, ich sehe da keine Unhöflichkeit. Zwar auch zugegeben keine besondere Höflichkeit, aber das muss ja nun auch nicht immer sein, finde ich. Nun zum Thema:


Zitat:
Original von mYthos
Ich sehe das etwas anders. Auch trivialisiert wurde m.E. hier nichts.
Wieso darf man diese Eigenschaft der Definition des Vektorproduktes nicht voraussetzen?


Weil man die auch erstmal beweisen muss.


Zitat:
Original von mYthos
Definitionsgemäß ist der Betrag des Vektorproduktes gleich der Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogrammes. Dies ist eine der drei Eigenschaften des Vektorproduktes. Alle diese drei waren natürlich bei Definition des Vektorproduktes zu berücksichtigen und die Beweise wurden auch geführt. Daher haben wir das Rad nicht neu zu erfinden.


Aha. Offenbar definiert sich das (2-dimensionale) Vektorprodukt bei dir durch 3 Eigenschaften, die es eindeutig machen. Das war mir nicht bewusst. Aber sei dir auch im klaren darüber, dass das (IMHO) nicht die Standard-Definition des Vektorproduktes ist. Die lautet wie folgt:



Und wenn man das Vektorprodukt auf diese Weise standardmäßig definiert, dann muss man wie gesagt die von dir aufgeführte Eigenschaft ersteinmal beweisen.

Falls ich dir irgendwie auf den Schlips getreten bin, dann tut es mir leid. Das wollte ich nicht. Blumen
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
...
Zitat:
Original von mYthos
Definitionsgemäß ist der Betrag des Vektorproduktes gleich der Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogrammes. Dies ist eine der drei Eigenschaften des Vektorproduktes. Alle diese drei waren natürlich bei Definition des Vektorproduktes zu berücksichtigen und die Beweise wurden auch geführt. Daher haben wir das Rad nicht neu zu erfinden.


Aha. Offenbar definiert sich das (2-dimensionale) Vektorprodukt bei dir durch 3 Eigenschaften, die es eindeutig machen. Das war mir nicht bewusst. Aber sei dir auch im klaren darüber, dass das (IMHO) nicht die Standard-Definition des Vektorproduktes ist. Die lautet wie folgt:


...


Das wurde leider gründlich mißverstanden! Ich habe nirgends ein "2-dimensionales Vektorprodukt" erwähnt oder eingeführt, denn ein solches ist Nonsense.

Zitat:
Original von mYthos
...
Wir legen die beiden Vektoren vorübergehend in den , bei diesen sind dann die dritten Koordinaten alle Null.
...


Ich habe die Vektoren bewusst 3-dimensional gemacht, denn nur dort hat das Vektorprodukt einen Sinn! Also allen gegebenen 2-dimensionalen Vektoren wurde eine dritte Koordiante (z) verpasst, die gleich Null ist, damit ändert sich der Flächeninhalt des in der 2-dimensionalen x-y - Ebene liegenden Parallelogrammes nicht.

So. Und nun setze in der von dir aufgeschriebenen Definition mal alle z-Werte Null ....

Zitat:
Original von WebFritzi
...
Falls ich dir irgendwie auf den Schlips getreten bin, dann tut es mir leid. Das wollte ich nicht. Blumen
...


Ok, gut, ist gegessen.

Gr
mY+
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Interessant hier.
Es ist halt die Frage, was alles vorausgesetzt werden kann.
Die Fläche des Parallelogramms ist das Produkt der Seitenlängen mal sin(alpha).
Ich habe das hier aus einem Skript.
[Spoiler]
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Tommy, wie schon gesagt, bitte keine Komplettlösungen, zumindest jetzt noch nicht! Des allgemeinen Interesses halber vielleicht morgen, wenn sich Panda_ nicht mehr melden sollte (was ich fast annehme ...)

Der von dir veröffentlichte Beweis entspricht übrigens exakt dem in meinem drittletzten Beitrag angedeuteten Weg (wenn du mal genauer hinsiehst).

mY+
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos: Ja, ich hatte da was durcheinandergebracht. Vergiss das mit dem 2-dimensionalen Vektorprodukt. Man kann ein solches zwar definieren (über deine Vorgehensweise), aber ob das viel Sinn macht, ist fraglich. Nichtsdestotrotz sehe ich nicht, wie du auf Leopolds und meine Argumentation eingegangen bist. Du schreibst

"Definitionsgemäß ist der Betrag des Vektorproduktes gleich der Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogrammes."

Das verstehe ich nicht ganz. So wie es da steht, macht es jedenfalls keinen Sinn, denn es wird schließlich nicht der Betrag des Vektorproduktes desfiniert, sondern das Vektorprodukt selbst. Also stelle ich jetzt direkt die Frage:

"Wie definierst du das Vektorprodukt?"

Wenn du es so machst wie ich in meinem letzten Post, dann musst du erstmal beweisen, dass der Betrag des VP's gerade dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms ist. Erst dann kannst du diese Tatsache verwenden. Ist dies dem Fragesteller unbekannt (vielleicht kennt er nicht einmal das Vektorprodukt), dann ist es sicher besser, auf elementarere Lösungen (wie z.B. der von Leopold, TommyAngelo oder outschool) zurückzugreifen.


@outschool: Ich kann dein Verhalten wirklich nicht gutheißen! unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Also stelle ich jetzt direkt die Frage:

"Wie definierst du das Vektorprodukt?"
...


Nicht ICH definiere das VP, sondern ich greife auf eine allgemeine und gültige (geometrische) Definition des VP zurück. Meines Wissens wird das VP aus zwei Vektoren a,b mittels folgender drei Sätze definiert:

1. VP ist ein zu beiden erzeugenden Vektoren orthogonaler Vektor
2. a, b und VP folgen aufeinander genauso wie die Einheitsvektoren des zugrunde liegenden Koordinatensystemes
3. Der Betrag des VP ist gleich dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogrammes

Das mit diesen Sätzen konstruierbare VP kann systematisch aus den Einheitsvektoren und den Verknüpfungseigenschaften (Distributivgesetz des VP) der mit ihnen ausgeführten Verknüpfungen aufgebaut werden.

Klar ist dann auch, dass für zwei beliebige Vektoren und zwei Skalare r, s gilt:



In Kurzform:
Die das VP bildenden Vektoren werden aus den Einheitsvektoren , und aufgebaut






-------------------------------------------------------------------------------------------



Bei weiterer Ausführung dieser Operationen beachten wir, dass erstens für die vektorielle Multiplikation das Distributivgesetz gelten muss (dies ist auf Grund der o.a. Definitionen jedoch leicht einzusehen) und zweitens für die Einheitsvektoren die folgenden Gegebenheiten bestehen, welche ebenso folgerichtig sind:







und



Da die Längen der Produktvektoren mit der Fläche des von diesen aufgespannten Parallelogrammes in jedem Teilprodukt zahlenmäßig übereinstimmen, gilt dies auch für das gesamte mittels der daraufhin überprüften Verknüpfungsregeln erstellte VP.

Nun können wir das Produkt ausführen und erhalten den von dir bereits angegebenen Produktvektor, dessen Koordinaten auch mit den entsprechenden Determinanten geschrieben werden können.

mY+
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Zitat:
Original von WebFritzi
Also stelle ich jetzt direkt die Frage:

"Wie definierst du das Vektorprodukt?"
...


Nicht ICH definiere das VP, sondern ich greife auf eine allgemeine und gültige (geometrische) Definition des VP zurück. Meines Wissens wird das VP aus zwei Vektoren a,b mittels folgender drei Sätze definiert:

1. VP ist ein zu beiden erzeugenden Vektoren orthogonaler Vektor
2. a, b und VP folgen aufeinander genauso wie die Einheitsvektoren des zugrunde liegenden Koordinatensystemes
3. Der Betrag des VP ist gleich dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogrammes


Diese Definition kenne ich nicht, finde sie aber interessant. Also kommt es einfach darauf an, wie der Fragesteller das VP definiert. Aber ich habe eh das Gefühl, dass es ihm ziemlich gleich ist... Augenzwinkern
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