anwendungsbezogene Differentialrechnung

22.02.2009, 20:41

tinkerbell

anwendungsbezogene Differentialrechnung

Ich habe hier zwei (Teil-)aufgaben, wo mir jegliche Idee fehlt und ich hoffe auf eure Hilfe...
zum einen:

$\begin{eqnarray*} K(x)=0,044x^3-2x^2+50x+600 \end{eqnarray*}$
x liegt zwischen 0 und 50.
Umsatzfunktion (in den anderen Teilaufgaben) U(x)=60x bzw. 40x

So, gezeichnet, Gewinn berechnet etc habe ich alles, jetzt kommt die letzte Teilaufgabe:
Zeichnen Sie den Graphen der Umsatzfunktion ein, bei der das Unternehmen gerade ohne Verlust arbeiten kann. Berechnen Sie den Preis, den das Unternehmen pro Produktionseinheit verlangen muss, um verlustfrei zu produzieren.

Mein Verständnisproblem ist, dass in meinen Funktionen x immer für die Stückzahl steht, ich jetzt aber einen Preis liefern soll - außerdem klingt da irgendwas von Tangente in meinem Ohr, aber eine Tangente würde ja nur einen Puntk berühren, ich hätte also nur einen kostenneutralen Punkt, gebunden an eine bestimmte Stückzahl - bei anderer Stückzahl wäre der entsprechende Preis dann ja gar nicht mehr kostenneutral - ihr seht, ich bin heillos verwirrt....

die zweite Aufgabe ist ähnlich, ebenfalls eine Kostenfunktion:
Die Global GmbH ermittelt für die Produktion eines Rucksacks die Kosten in Abhängigkeit von der Absatzmenge x und einem Qualitätsstandard a. Die Unternehmensleitung geht bei ihren Produktionsentscheidungen von folgender ertragsgesetzlichen Kostenfunktion dritten Grades aus:

$\begin{eqnarray*} K(x)=x^3-ax^2+60x+50 \end{eqnarray*}$
a gehört zu den rationalen Zahlen, x kann von 0-12 gehen.
auch hier, die anderne Teilaufgaben kein Problem - hier finde ich überhaupt keinen Zugang...

22.02.2009, 22:02

mYthos

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Solange du nur Bruchstücke der Aufgabe postest, können wir dir nicht helfen. Die bisherigen Angaben erscheinen (für mich) undurchsichtig und unvollständig, vor allem bei der zweiten Aufgabe.

Wenn du an einer effizienten Hilfe interessiert bist, stelle die Aufgabe vollständig und im Originalwortlaut ein und schreibe dazu, wie weit du gekommen bist und was du dazu schon gerechnet hast.

mY+

Über Kostenfunktionen findest du Informationen u. a. bei:

quadratische Kostenfunktion

Kostenminimum

Kostenfunktion und Wendepunkt

22.02.2009, 22:25

tinkerbell

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tut mir leid, ich wollte nicht mit unnötig langen Texten nerven, daher die Bruchstücke - hier die Aufgaben im Ganzen:

Zitat:

1. Aufgabe:
Einem Unternehmen entstehen bei x Produktionseinheiten die Gesamtkosten K(x). Diese können im Bereich 0-50 erfahrungsgemäß durch die Kostenfunktion K mit
$\begin{eqnarray*} K(x)=0,044x^3-2x^2+50x+600 \end{eqnarray*}$
beschrieben werden.
Jede Produktionseinheit wird für 60 Euro verkauft.
a) Zeichnen Sie die Graphen der Kosten- und Umsatzfunktion in ein gemeinsames Achsenkreuz. Lesen Sie den Bereich ab, in dem das Unternehmen Gewinn macht.
b) Bei wie viel Produktionseinheiten wird der Gewinn am größten?
c) Durch ein Überangebot kann das Unternehmen eine Produktionseinheit nur noch für 40 Euro verkaufen. Zeichnen Sie den Graphen der neuen Umsatzfunktion in das vorhandene Achsenkreuz ein. Warum kann das Unternehmen in dieser Marktsituation nicht mehr mit Gewinn produzieren?
d) Zeichnen Sie den Graphen der Umsatzfunktion ein, bei der das Unternehmen gerade ohne Verlust arbeiten kann. Berechnen Sie den Preis, den das Unternehmen pro Produktionseinheit verlangen muss, um verlustfrei zu produzieren.

die Teile a, b und c konnte ich problemlos lösen - bei Aufgabe d fehlt mir irgendwie der logische Ansatz, wie oben beschrieben.

Zitat:

2. Aufgabe:
Die Global GmbH ermittelt für die Produktion eines Rucksacks die Kosten in Abhängigkeit von der Absatzmenge x und einem Qualitätsstandard a. Die Unternehmensleitung geht bei ihren Produktionsentscheidungen von folgender ertragsgesetzlichen Kostenfunktion dritten Grades aus:

$\begin{eqnarray*} K(x)=x^3-ax^2+60x+50 \end{eqnarray*}$

wobei a aus dem reellen Zahlenbereich stammt und x in einem Bereich von 0-12 liegen kann.
2.1
Bestimmen Sie, für welche Werte von a die Kostenfunktion K(x) keine Extremstellen besitzt. Interpretieren Sie die Bedeutung der Existenz bzw. Nicht-Existenz von Extremstellen ökonomisch.

2.2
Die Marketingabteilung der Global GmbH hat für den höchsten Qualitätsstandard a=12 folgende Gewinnfunktion ermittelt:

$\begin{eqnarray*} G(x)=-x^3+12x^2-19,5x-50 \end{eqnarray*}$

2.2.1
Stellen Sie die Erlösfunktion auf und geben Sie an, mit welchem Verkaufspreis das Unternehmen kalkuliert.
2.2.2
Bestimmen Sie die Gewinnzone der Global GmbH, wenn gilt 1 ME=1000 Stück.
2.2.3
Ermitteln sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und den dazugehörigen Gewinn.

Den Teilbereich 2.2 konnte ich problemlos lösen, bei 2.1 fehlt mir wieder der logische Ansatz...

23.02.2009, 16:18

mYthos

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Zu 1.

Wenn du a) bis c) einwandfrei gelöst hast, solltest du auch zu d) zumindest eine Idee haben. Denn die Antwort bei a) zeigt dir die Gewinnzone zwischen 19 und 43 PE, solange die Erlös-(Umsatz)funktion U(x) = 60x beträgt, weil U(x) die Kostenfunktion K(x) zweimal schneidet. Bei c) solltest du gesehen haben, dass U(x) = 40x die Kurve K(x) nicht mehr schneidet, sondern unterhalb derer verläuft.

Somit muss bei dem Szenario d) die Umsatzkurve die Kostenkurve zumindest berühren. Die Steigung der Umsatzkurve ist der Preis pro PE, diesen setze p. Dann gilt:

G(x) = px - 0.044x^3 + 2x^2 - 50x - 600 .. Gewinnfunktion

Für das gesuchte p muss das Gewinnmaximum bei einer bestimmten PE-Zahl x gerade Null sein, der Gewinn selbst aber auch (Break-Even-Point).
Daraus ergeben sich zwei Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 1.: \ G'(x) = U'(x) - K'(x) = 0 \ \to \ p = K'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.: \ G(x) = U(x) - K(x) = 0 \ \to \ px = K(x) \end{eqnarray*}$
------------------------------------------------------------------------------
Wir berechnen zuerst x

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \cdot K'(x) = K(x) \end{eqnarray*}$

Die entstehende Gleichung dritten Grades wird näherungsweise gelöst, aus x folgt dann p.

Interessant und folgerichtig dabei ist, dass man x auch bekommt, indem man die Stückkosten k(x) minimiert. Die Stückkostenfunktion lautet

$\begin{eqnarray*} k(x) = \frac{K(x)}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k'(x) = \frac{K'(x) - x}{x} \ \to \ k'(x) = 0 \ \to \ x K'(x) = K(x) \end{eqnarray*}$

Das ist die identische Gleichung wie oben.

Die Grafik veranschaulicht noch diese Zusammenhänge.

[attach]9870[/attach]

Zu 2.1.

Du kannst genau so vorgehen, wie wenn a gegeben wäre. Dazu musst du eine quadratische Gleichung auflösen. Nun sieh' dir den Term unter der Wurzel an! Wann hat diese quadratische Gleichung reelle Lösungen?

mY+

23.02.2009, 21:36

tinkerbell

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Vielen Dank - auf diesem Wege bin ich zu einem Preis von 49,59 Euro gelangt, was sich auch mit dem Graphen deckt.

Ja bei der anderen Aufgabe bin ich selbst (glaube ich) zur Lösung gelangt:
Ich habe die erste Ableitung =0 gesetzt und lande dann bei

$\begin{eqnarray*} 1/3a\pm \sqrt{1/9a^2-20} \end{eqnarray*}$

gelandet und habe argumentiert, dass es keine Extremstellen gibt bei $\begin{eqnarray*} a<\sqrt{180} \end{eqnarray*}$ , da dann die Zahl unter der Wurzel negativ wäre.

23.02.2009, 21:58

mYthos

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Richtig! Das Gleichheitszeichen gilt jedoch auch noch, also

$\begin{eqnarray*} a \leq 180 \end{eqnarray*}$

mY+

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