Gleichmäßige und punktweise Konvergenz

23.02.2009, 17:33

Sabinee

Gleichmäßige und punktweise Konvergenz

Ich habe den Unterschied zwischen punktweise und gleichmäßige Konvergenz verstanden.
Doch ich weiß leider nicht so genau wie ich das bei Funktionenfolgen beweisen soll.

Dazu zunächst folgende Aufgabe:

1) Zeigen Sie, dass die Folge der Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{x^2}{1+nx^2} \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergiert.

So wie fange ich hier am besten an:

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{x^2}{1+nx^2}=\frac{1}{\frac{1}{x^2}+n}\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Daraus müsste doch folgen, dass: $\begin{eqnarray*} |f_n(x)|\leq\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist gilt:

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|\leq\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Nun sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben, dann existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \forall n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt:
Wähle $\begin{eqnarray*} n_0=\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|\leq \frac{1}{n}\leq \frac{1}{n_0}<\epsilon \end{eqnarray*}$

Daraus folgt die gleichmäßige Konvergenz der Funktionsfolge.

Ist das so richtig?

Edit: Hab aus zwei kleiner Zeichen, kleinergleich Zeichen gemacht.

23.02.2009, 17:44

Mathespezialschüler

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Was ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Sabinee
Nun sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben, dann existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \forall n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt:
Wähle $\begin{eqnarray*} n_0=\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ .

Dieser Satz ergibt keinen Sinn! Wenn du deine Gedanken noch einmal ein bisschen ordnest und in der richtigen Reihenfolge aufschreibst, dann hast du auch die richtige Lösung gefunden.

23.02.2009, 18:02

Sabinee

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f müsste doch $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ sein oder?

Nun ich versuchs nochmal:

Es gilt die Abschätzung: $\begin{eqnarray*} |f_n(x)|\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Nun sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben.

Wähle $\begin{eqnarray*} n_0<\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_0}<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ folgendes:

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|\leq \frac{1}{n}\leq \frac{1}{n_0}<\epsilon \end{eqnarray*}$

Ich hab versucht das geordneter zu schreiben.
Wie siehts jetzt aus?

23.02.2009, 18:13

WebFritzi

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Zitat:

Original von Sabinee
f müsste doch $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ sein oder?

Dann definier das so, bevor du es benutzt.

Zitat:

Original von Sabinee
Es gilt die Abschätzung: $\begin{eqnarray*} |f_n(x)|\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Für welche x und für welche n?

Zitat:

Original von Sabinee
Nun sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben.

OK.

Zitat:

Original von Sabinee
Wähle $\begin{eqnarray*} n_0<\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_0}<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Hier stimmt was nicht...

Zitat:

Original von Sabinee
Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

Was für x?

Zitat:

Original von Sabinee
$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|\leq \frac{1}{n}\leq \frac{1}{n_0}<\epsilon \end{eqnarray*}$

f ist wie gesagt immernoch nicht definiert. Letzteres gilt nur, wenn du das n_0 auch so wählst.

23.02.2009, 18:21

Sabinee

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Manchmal könnte ich mich selbst hassen, also nochmal.

Sei $\begin{eqnarray*} f(x):=0 \end{eqnarray*}$

Es gilt die Abschätzung: $\begin{eqnarray*} |f_n(x)|\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Nun sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben.

Wähle $\begin{eqnarray*} n_0>\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_0}<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ folgendes:

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|\leq \frac{1}{n}\leq \frac{1}{n_0}<\epsilon \end{eqnarray*}$

23.02.2009, 18:59

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Sabinee
Es gilt die Abschätzung: $\begin{eqnarray*} |f_n(x)|\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Für welche x und für welche n?

Ansonsten stimmt alles. Du könntest noch genauer sagen, was für ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ du wählst, z.B. $\begin{eqnarray*} n_0:=\left\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\right\rfloor+1 \end{eqnarray*}$ . Ist aber im Prinzip nicht nötig, da man ja irgendeine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} >\frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ wählen kann.

23.02.2009, 19:04

Sabinee

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Super, vielen dank ersteinmal, werd mir das weiter anschauen und falls ich Probleme habe mich nochmal melden.

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