Umformen von folgendem Ausdruck

24.02.2009, 00:26

StraightEdge

Umformen von folgendem Ausdruck

hallo,

kann mir jemand mal bitte bei dem ausdruck hier helfen?

wie kommt man von
$\begin{eqnarray*} b^2 \sqrt{1-sin²t * b cost dt} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} b^2 * (cost)^2 dt \end{eqnarray*}$

für mich sieht das wie zauberei aus ^^

24.02.2009, 00:58

WebFritzi

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Du meinst doch sicher einen anderen Term, oder? So ist es Unsinn.

24.02.2009, 01:09

StraightEdge

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naja also das auf der linken seite stimmt auf jedenfall.

wie würde denn die umformung sonst aussehn?

also jetzt mal vereinfacht:

hiervon: $\begin{eqnarray*} b^2 \sqrt{1-sin² * b cost} \end{eqnarray*}$ ?

24.02.2009, 08:27

klarsoweit

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Am besten postest du mal die komplette Aufgabe.

24.02.2009, 16:53

StraightEdge

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okay also:

$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^{a}~\sqrt{b^2-x^2}~dx \end{eqnarray*}$ (b>a>0)

hab dann folgende substitution gewählt.

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} = b*cost => dx=b*cos & dt \end{eqnarray*}$

dann bekomm ich:

$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^{a}~\sqrt{b^2-b^2*sin^2t} * b*cost~dt\\=>b^2\int_{-a}^{a}~\sqrt{1-sin^2t} * b*cost~dt\\=> b^2 \int_{-a}^{a}~(cost)^2~dt \end{eqnarray*}$

Also so stand es an der Tafel.. das ich mich verschrieben habe ist natürlich nicht auszuschließen Augenzwinkern

Und wie der rest gemacht wird ist mir auch klar und mit den Grenzen einsetzen. Aber wie gesagt der Teil: $\begin{eqnarray*} b^2\int_{-a}^{a}~\sqrt{1-sin^2t} * b*cost~dt\\=> b^2 \int_{-a}^{a}~(cost)^2~dt \end{eqnarray*}$

nicht so ganz.

Danke für eure Hilfe

24.02.2009, 17:13

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Gemäß trigonometrischen Pythagoras ist ja $\begin{eqnarray*} 1-\sin^2(t)=\cos^2(t) \end{eqnarray*}$ , also gilt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-\sin^2(t)} = \cos(t) \end{eqnarray*}$

sofern $\begin{eqnarray*} \cos(t)\geq 0 \end{eqnarray*}$ anderweitig klar ist. Im vorliegenden Fall wäre das in deinem Integranden z.B. dann der Fall, wenn noch $\begin{eqnarray*} 0\leq a\leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ gelten würde. Was bei genauerer Betrachtung sogar UNBEDINGT erforderlich ist, denn für $\begin{eqnarray*} a > \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ wäre die Umformung

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-a}^a ~ \sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot \cos(t) ~ \dd t \stackrel{?}{=} \int\limits_{-a}^a ~ \cos^2(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

falsch. Nicht die Vorzeichen der Winkelfunktionen außer Acht lassen! Augenzwinkern

P.S.: Deinen sorglosen Umgang mit dem Wurzelzeichen (mal drüber über den Term $\begin{eqnarray*} b\cos(t) \end{eqnarray*}$ , dann wieder außerhalb...) solltest du mal überdenken.

24.02.2009, 17:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von StraightEdge
$\begin{eqnarray*} =>b^2\int_{-a}^{a}~\sqrt{1-sin^2t} * b*cost~dt \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Wenn das b² aus der Wurzel gezogen wird, wird es zu einem b. Außerdem mußt du die Integrationsgrenzen transformieren. Und obendrein ist der Implikationspfeil auch nicht angebracht, da du keine Aussagen folgerst, sondern lediglich einen Term umformst.

24.02.2009, 17:54

StraightEdge

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Also als Grenze hab ich (+/-)arcsin(a/b)

was meint du denn mit sorglosem umgang mit dem wurzelzeichen?

24.02.2009, 18:00

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Zitat:

Original von StraightEdge
was meint du denn mit sorglosem umgang mit dem wurzelzeichen?

Das sollte nach meiner Erläuterung dazu doch wohl klar sein! Oder formst du z.B. auch um

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1} = \sqrt{x} + 1 \end{eqnarray*}$ usw. geschockt

24.02.2009, 18:12

StraightEdge

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erm ist das nicht eig korrekt? Tanzen

das dx unter der aufgabenstellung was ich dann durch b*cost dt substituiere steht ja auch nicht unter der wurzel oder wie jetz?

24.02.2009, 19:01

WebFritzi

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Schau mal in deinen Ausgangspost, was da alles unter der Wurzel steht. Und ich hatte dich auch noch drauf aufmerksam gemacht. Aber es war ja auf jeden Fall richtig... unglücklich

24.02.2009, 19:39

StraightEdge

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Zitat:

Original von WebFritzi
Schau mal in deinen Ausgangspost, was da alles unter der Wurzel steht. Und ich hatte dich auch noch drauf aufmerksam gemacht. Aber es war ja auf jeden Fall richtig... unglücklich

achsooo ohh mist das hab ich jetz garnicht mehr beachtet. abe rjetzt wo ich die mitschrift mir nochmal angeguckt habe ist das was heute geschrieben wurde von mir auf jedenfall richtig. hatte da oben mich mit latex nen bissl verfranzt sorry dafür Gott

25.02.2009, 01:00

WebFritzi

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Ja, manchmal ein wenig an sich selber zweifeln ist gar nicht so schlecht...

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