Gödel'scher Unvollständigkeitssatz und Paradoxien

Neue Frage »

engineer Auf diesen Beitrag antworten »
Gödel'scher Unvollständigkeitssatz und Paradoxien
Der erste Gödel'sche Unvollständigkeitssatz besagt ja bekanntlich, dass es Sätze gibt, die weder beweisbar noch widerlegbar sind; Also Paradoxien.

Der Beweis durch Widerspruch nimmt aber an, dass ein Satz entweder wahr oder falsch ist. Wenn man also gezeigt hat, dass die Negierung eines Satzes zu einem Widerspruch führt, wird gefolgert, dass dieser Satz somit wahr sein muss.
Was aber, wenn es sich bei dem zu beweisenden Satz um eine Paradoxie handelt? Dann könnte man sich nicht sicher sein.
Die Paradoxie des Satzes muss ja nicht unbedingt erkennbar sind.

Gibt es eine Auflösung zu diesem Problem?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gödel'scher Unvollständigkeitssatz und Paradoxien
Nein, leider nicht. Es gibt daher immer noch eine breite Riege an Mathematikern die fordern, dass die Beweise "schwieriger" Aussagen direkt geführt werden sollten/müssen.
Gödel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich klinke mich mal in die Diskussion ein, denn anscheinend habe ich die Thematik oder die Frage des Themenstarters nicht begriffen.

Eine Aussage A kann wahr, falsch, unentscheidbar oder widersprüchlich sein. Die Negation einer unentscheidbaren Aussage ist wiederum unentscheidbar. Wenn ich - wie beim Widerspruchsbeweis - eine Aussage A als falsch abstempel, kann ich doch guten Gewissens neg(A) als wahr anerkennen. Unentscheidbar kann neg(A) doch nicht sein (falsch ebenso wenig), denn mit neg(A) wäre auch A unentscheidbar und keine falsche Aussage. Wenn ich also versuche eine unentscheidbare Aussage A mittels Widerspruch zu beweisen, scheitere ich doch daran, neg(A) zum Widerspruch zu führen. Trotz Existenz unentscheidbarer Aussagen, sehe ich also keine Problematik in der Anwendung (und den damit verbundenen Folgerungen) eines "Beweises durch Widerspruch".
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Kleines Beispiel:

Betrachte die Aussage "Ich lüge.". Wir werden indirekt zeigen, dass ich tatsächlich lüge.

Beweis: Also angenommen ich lüge nicht, dann sage ich die Wahrheit. Somit muss die Aussage "Ich lüge." wahr sein.


Zugegeben ist das in diesem Falle noch kein wirkliches Problem, da die Aussage sehr einfach strukturiert ist. Wie dem aber auch sei zeigt dieses kleine Beispiel die Gefahr, die ein indirekter Beweis birgt.
engineer Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem beim Widerspruchsbeweis einer Paradoxie ist,
dass egal ob ich annehme die Aussage sei wahr oder falsch,
ich immer mit einem Widerpsruch ende.
Aber der Widerspruchsbeweis nimmt ja gerade an, dass die Aussage entweder wahr oder falsch ist.


Beispiel:
In einer Stadt gibt es einen Barbier, der alle Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren.
Die Definition lautet also:
"Er rasiert alle, die sich nicht selbst rasieren". (eine Äquivalenz)
Und die Frage lautet:
"Rasiert er sich selbst?".

Geht man nun mit einem Widerspruchsbeweis an die Sache ran, zeigt sich die Paradoxie.
1. Angenommen er rasiert sich nicht selbst. Dann widerspricht das der Definition, denn
er ist einer der sich nicht selbst rasiert, dann folgt daraus, dass er sich selbst rasiert.
Nun könnte man meinen, die negierte Aussage hat zu einem Widerspruch geführt, also muss die Aussage wahr sein.
1. Angenommen er rasiert sich selbst. Dann widerspricht das der Definition ebenso, denn
wenn er sich selbst rasiert, folgt daraus, dass er einer ist, der sich nicht selbst rasiert.
Beide Annahmen sind widersprüchlich. Da versagt der Widerspruchsbeweis.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Er versagt nicht, sondern zeigt auf, dass es diesen Barbier nicht geben kann.
 
 
Gast0 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz sagt also, dass es zu jedem Axiomensystem eine Aussage gibt, die sich weder aus dem System beweisen noch damit widerlegen lässt? Ich habe mal etwas gelesen von "Es gibt wahre Aussagen, die nicht beweisbar sind". Was ich nicht verstand, weil mir nicht klar wahr was mit "wahre Aussagen" gemeint ist.
Wenn man aber so eine Unterscheidung von "wahr", "falsch", "beweisbar" und "nicht beweisbar" macht (wie auch immer) und jetzt aus "A falsch" mit Hilfe des gegebenen Axiomensystems einen Widerspruch (z.B. "A wahr") herleitet, dann ist damit "A beweisbar" (in Bezug auf das Axiomensystem) und damit auch "A wahr" (falls das Axiomensystem korrekt ist) gezeigt. Das ist meine Interpretation. Ich würde mich freuen, wenn sich vielleicht mal ein 'Profi' auf dem Gebiet melden würde.
Gast0 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast0
Wenn man aber so eine Unterscheidung von "wahr", "falsch", "beweisbar" und "nicht beweisbar" macht (wie auch immer) und jetzt aus "A falsch" mit Hilfe des gegebenen Axiomensystems einen Widerspruch (z.B. "A wahr") herleitet, dann ist damit "A beweisbar" [..] gezeigt.

Wobei, eigentlich ist damit ja nur "nicht neg(A) beweisbar" gezeigt. Ich bin gerade verwirrt.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast0
"Es gibt wahre Aussagen, die nicht beweisbar sind". Was ich nicht verstand, weil mir nicht klar wahr was mit "wahre Aussagen" gemeint ist.


Wahrheit ist über Semantik () definiert, Beweisbarkeit über Kalküle ().
Lies dir mal den Wikipedia-Artikel zur Vollständigkeit durch, vielleicht wirds dann klarer.
Wieso du den Unvollständigkeitssatz mit Paradoxien in Verbindung bringst, weiss ich noch nicht ganz.
caspere Auf diesen Beitrag antworten »
paradoxon mit rasieren
Beispiel:
In einer Stadt gibt es einen Barbier, der alle Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren.
Die Definition lautet also:
"Er rasiert alle, die sich nicht selbst rasieren". (eine Äquivalenz)
Und die Frage lautet:
"Rasiert er sich selbst?".

Müsste die Definition nicht folgendermaßen lauten, damit es ein Paradoxon ist?
Er rasiert NUR alle, die sich nicht selbst rasieren".
Sonst darf er ja auch welche rasieren, die sich selber auch rasieren, oder nicht?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »