Stetigkeit mit dem Epsilon-Delta Kriterium

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Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit mit dem Epsilon-Delta Kriterium
Hallo, es geht um das Epsilon-Delta Kriterium beim Nachweis der Stetigkeit einer Funktion im Punkt .

Ich habe da so meine Schwierigkeiten das zu bestimmen.

Nehmen wir an, ich habe die Funktion:



Dann mache ich ne Nebenrechnung:









Wie mache ich denn ab hier weiter?
Himbeer-Toni Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit mit dem Epsilon-Delta Kriterium
Die Abschätzerei kannst Du wesentlich vereinfachen, denn Produkte, Summen und Quotienten stetiger Funktionen sind stetig.
Die Stetigkeitsuntersuchung Deiner Funktion lässt sich also auf die Stetigkeitsuntersuchung von f(x)=x zurückführen.
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit mit dem Epsilon-Delta Kriterium
Ich soll es aber explizit für diese Funktion machen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas einfacher als deine Abschätzung wäre z.B. das Ausnutzen der Gleichung

,

womit das nur noch linear auftritt. Man muss dann nur sicher stellen, dass der zweite Faktor beschränkt bleibt.
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir, aber ich wollte das unbedingt mit meiner Abschätzung machen, denn dann habe ich es selbst fast geschafft.
Oder kann ich damit nicht mehr weitermachen?
Wenn ich meine Summanden irgendwie so wählen könnte, dass sie alle kleiner sind, dann würde das klappen.
Kann ich das denn irgendwie machen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Mit für jeden Summanden würde ich es nicht probieren. Du hast am Ende ein Quadrat verschlampt, der letzte Term müsste



lauten. Du könntest versuchen, den zweiten Faktor so abzuschätzen, dass er nicht mehr von abhängt, und danach entsprechend dein wählen. Z.B. kannst du o.B.d.A. annehmen.
 
 
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »



Folgt daraus

?

Ist das jetzt mein ?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das folgt nicht daraus. Du musst doch umgekehrt denken. Wenn ein gegeben ist, dann kannst du welches wählen, um die Stetigkeitsbedingung zu erfüllen?
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich total aus dem Konzept:



wir sind soweit oder?

Was muss ich denn jetzt nun tun.

Oder schätze ich so ab:


Sorry, ich denke ich stelle zurzeit ziemlich verblödete Fragen, aber ich will das verstehen und es auch ggf. in der Klausur anwenden können.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Sei . Du musst ein finden, sodass für alle mit stets gilt. Nun weißt du, dass für z.B. stets



gilt. Wie könntest du also wählen?
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde erneut so wählen:

, weil ich dann das hier hätte:





Aber damit bist du ja nicht einverstanden.

Ich bin einfach zu blöd für diese Aufgabe. unglücklich
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Damit bin ich in gewisser Weise schon einverstanden.

Zitat:
Original von Sabinee


Folgt daraus

?

Diese Formulierung ist nur falsch. Wie gesagt, muss man die Kausalität beachten. Deine Abschätzungen zeigen, dass du wählen kannst, sodass die Bedingung erfüllt ist. Aber es muss nicht genau dieses sein. Wenn man anders (besser oder schlechter) abschätzt, kann man auch auf ein anderes kommen bzw. man kann sowieso immer ein kleineres wählen. Die Formulierung "daraus folgt" ist insofern einfach nicht sinnvoll.

Ich bin mit obigem also durchaus einverstanden, allerdings noch nicht komplett. Es fehlt noch etwas. Was passiert z.B. für und ?
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe, ich finde das super nett dass du mir das bis ins kleinste Detail erklärst.
Für und ist
Ist das nicht in Ordnung?

Ich hätte noch ne kleine Bitte und zwar habe ich mir die Frage extra für jetzt aufgehoben.
Warum darf man denn o.B.d.A annehmen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man zu einem fest vorgegebenem ein gefunden hat, das die Definition erfüllt, dann tut es auch jedes kleinere ! Denn ist und beliebig mit , so ist auch und damit dann . Wenn man also ein gefunden hat, dann bringt einem auch jedes kleinere das Gewünschte. Deswegen kann man o.B.d.A. einfach schon mal von ausgehen.

Allerdings muss man das am Ende bei der Definition von auch berücksichtigen. Für und ist z.B. unser obiges . Wir haben aber die Abschätzung benutzt, was ja in diesem Fall gar nicht gilt. Deshalb hilft man sich an solch einer Stelle immer mit folgendem Trick aus (weshalb ich auch noch nicht komplett einverstanden war, da das noch nicht ganz richtig war): Man setzt einfach

.

Dann ist und ist erfüllt. Außerdem sind alle anderen Abschätzungen genauso wie vorher auch möglich, sodass also jetzt aus wirklich folgt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In der Euklid-Datei des Anhangs wird eure Rechnung veranschaulicht. Beim Herunterladen die Dateiendung von .txt auf .geo abändern.
Das Euklid-Programm gibt es hier.
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathespezialschüler
Das war super erklärt. Dafür einen großen dank, das wird mir für die Klausur sehr weiterhelfen.

@Leopold
Danke für die Veranschaulichung, auch damit konnte ich viel anfangen.
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