Aufgaben zur Integration

24.02.2009, 19:55

Schl3imer

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Aufgaben zur Integration

Hallo liebe Mathefreunde.

Schreibe demnächst Mathe I und setze mich gerade mit der Integralrechnung auseinander.

Einige meiner Übungsaufgaben:
1.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ \frac{ln\mid\sqrt{x}\mid }{x} ~dx \end{eqnarray*}$

weiss nicht so recht wie ich daran gehen soll. Partialbruchzerlegung fällt meiner Meinung nach raus. Wüsste nicht wie ich dies in Teilbrüche zerlegen soll. Mit partieller Integration drehe ich mich dabei im Kreis. Also nehme ich an, dass ich eine Substitution vornehmen muss. Bin nur noch nicht auf die richtige gestoßen.

Könnt ihr mir da weiterhelfen?

2.
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~~ 2^{x} * (1+2^{x} ) dx \end{eqnarray*}$

Muss ich hier ganz normal mit partieller Integration arbeiten? Sehe dann im Integral nicht wirklich eine Vereinfachung auf ein Stammintegral.
Auch hier wäre ich für Hilfe dankbar.

MfG

Schleimi

24.02.2009, 19:59

Rare676

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Zu Aufgabe 1: Sind das Betragsstriche, oder soll das das Argument darstellen? Eine mögliche Substitution ist $\begin{eqnarray*} u=ln(\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$

zu Aufgabe 2:

einfach ausmultiplizieren, aufspalten in 2 Integrale und Standardintegrale anwenden.

24.02.2009, 19:59

Mathespezialschüler

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Hallo!
Es gilt

$\begin{eqnarray*} \ln\left|\sqrt{x}\right|=\ln\sqrt{x}=\frac{1}{2}\ln x \end{eqnarray*}$ .

Nutze dann die Substitution $\begin{eqnarray*} u=\ln x \end{eqnarray*}$ . Ebenso kann man bei der zweiten umformen:

$\begin{eqnarray*} 2^x\cdot\left(1+2^x\right)=2^x+4^x=\operatorname e^{x\ln 2}+\operatorname e^{x\ln 4} \end{eqnarray*}$ .

Dies lässt sich ohne Weiteres integrieren.

24.02.2009, 20:07

Schl3imer

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Man auf das ausmultiplizieren hätte ich auch selbst kommen können...

$\begin{eqnarray*} \mid ... \mid \end{eqnarray*}$ soll das Argument darstellen

Die Umformung zu Aufgabe 1 war mir nicht bekannt. Werde ich mir merken! Vielen Dank!. Wenn ich was raus habe poste ich es hier rein Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.02.2009, 20:09

eierkopf1

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Bei 1. funktioniert auch partielle Integration problemlos Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.02.2009, 20:10

Rare676

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Zitat:

Original von Schl3imer

Die Umformung zu Aufgabe 1 war mir nicht bekannt. Werde ich mir merken! Vielen Dank!. Wenn ich was raus habe poste ich es hier rein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} a \cdot \ln(x)=\ln(x^a) \end{eqnarray*}$

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24.02.2009, 20:18

Schl3imer

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Wie hast du denn u und v' bei der partiellen Integration gewählt Eierkopfchen? ^^

24.02.2009, 20:21

eierkopf1

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$\begin{eqnarray*} u= \ln { | x |} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=\frac 1 x \end{eqnarray*}$

25.02.2009, 08:30

Schl3imer

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So ein Ärger. Das 2. Integral hab ich hier falsch reingestellt. Was das ganze natuerlich etwas komplizierter macht...

Das erste war dann ja relativ einfach ner der oben genannten Umformung.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \ln(x)^{2} + c \end{eqnarray*}$ ist mein Ergebnis

Ich hoffe ihr lest das hier noch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also korrekterweise lautet das 2. Integral :

$\begin{eqnarray*} \int_{}~2^{x}(1+2^{x})^{\frac{1}{2} }~ dx \end{eqnarray*}$

Wende ich hier ganz normal partielle Integration an und dann die Kettenregel für den Klammerausdruck? Wird irgendwie nicht einfacher :\

25.02.2009, 08:46

eierkopf1

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Das Ergebnis vom ersten stimmt. ;-)

Beim 2.: Integration mittels Substitution ;-)

Schau dir mal den Klammerausdruck an und mach davon die Ableitung. Dann sieh dir den Ausdruck vor der Klammer an.
(BTW: In der Schule hat das bei uns "Unmittelbare Integration" geheißen.)

25.02.2009, 09:31

Schl3imer

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Hmm ich denke ich weiss worauf du hinaus willst. Ist sicherlich der Substitutionstyp f(x) * f'(x) oder? Wenn ich den Klammerausdruck ableite sehe ich das allerdings nicht. Ist schon richtig wenn ich den per Kettenregel ableite ?

habe als Ableitung für den Klammerausdruck dann raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ln2*2^{x} (1+2^{x} )^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Was nach meiner Vermutung ja sicherlich nicht korrekt ist. Bin ich zu blöde für die Kettenregel oder wende ich sie hier nicht an? ? verwirrt

verwirrt

25.02.2009, 09:37

AD

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Ich denke, du hast eierkopf1 missverstanden: Nur den Klammerausdruck ohne Potenz ableiten! Also $\begin{eqnarray*} u=1+2^x \end{eqnarray*}$ mit Ableitung $\begin{eqnarray*} u' = 2^x\cdot \ln(2) \end{eqnarray*}$ , was dann gleich die passende Substitution für dein Integral ist.

25.02.2009, 09:51

Schl3imer

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Okay klick!

Also muss die Lösung

$\begin{eqnarray*} F(x) =\frac{2}{3}ln2 (1+2^{x} )^{\frac{3}{2} } + C \end{eqnarray*}$

sein oder?

25.02.2009, 10:00

AD

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Du solltest nochmal genau nachdenken, wo du das $\begin{eqnarray*} \ln(2) \end{eqnarray*}$ platzierst: Über oder doch besser unter den Bruchstrich? Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.02.2009, 10:01

eierkopf1

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Abschreibfehler?

$\begin{eqnarray*} F(x) =\frac{2}{3\cdot \ln 2 } (1+2^{x} )^{\frac{3}{2} } + C =\frac{2}{ \ln 8 } (1+2^{x} )^{\frac{3}{2} } + C \end{eqnarray*}$

EDIT: Zu langsam Teufel

Teufel

25.02.2009, 10:10

Schl3imer

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Wuah ja da hab ich mich verguckt. Hier aufm Zettel stehts so ^^. Aber der Vollständigkeit halber schreib ich es auch nochmal richtig hin Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Außerdem macht Latex ja Spaß Big Laugh

Big Laugh

).

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3ln2} (1+2^{x} )^{\frac{3}{2} } + C \end{eqnarray*}$

3*ln2 = ln8 ? Habt ihr dazu ne allgemeine Regel parat? ^^ Reines ausmultiplizieren kanns ja net sein. Grins

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{ln8} (1+2^{x} )^{\frac{3}{2} } + C \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für eure Hilfe. Hat mir ne Menge gebracht! Tauche sicher nochmal mit Fragen auf Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bis bald!

25.02.2009, 10:12

eierkopf1

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$\begin{eqnarray*} \log_b x^a = a\cdot \log_b x \end{eqnarray*}$

EDIT: x > 0 und a aus R

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