Höher-dimensionale Räume (n>3) und Rechengesetze

24.02.2009, 20:32	börnie	Auf diesen Beitrag antworten »
Höher-dimensionale Räume (n>3) und Rechengesetze Hallo, ich bin zur Zeit in der Stufe 12 und muss eine Hausarbeit über das Thema "Höher-dimensionale Räume (n>3) und Rechengesetze" machen! Was gehört alles rein und wo finde ich gute Internetseiten zu dem Thema? Bin für jeden Tipp dankbar Gruß, börnie
25.02.2009, 09:40	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo das rein gehört: Lineare Algebra (was natürlich nicht heißt, dass in anderen Teilgebieten keine Räume auftauchen!) Gute Internetseiten kenne ich nicht. Wiki gibt nen guten Überblick. Eventuell lohnt sich sogar der Blick in ein Buch, das man eher an der Uni liest: Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg+Teubner Da gibts im Kapitel "0" ne gute Einführung. Falls du nahegelen eine Uni-Bibliothek hast oder das sogar deine Schulbib anbietet...
25.02.2009, 19:08	börnie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollt ja eigentlich nich wissen wo das reingehört, sondern WAS da reingehört Also welche "Unterthemen" gehören zum Thema? Trotzdem danke für die Antwort
25.02.2009, 23:04	börnie	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja.. was ich auch noch fragen wollt, welche Rechengesetze gelten denn in höherdimensionalen Räumen? Hab gehört, dass das Kommukativgesetzt(?) oder so da nich gilt! Kann mich da einer aufklären, bitte? Gruß börnie
25.02.2009, 23:14	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte dir ungerne zu nahe treten, aber ich befürchte, dass du nicht viel Weitblick hast, was dieses Thema angeht (und ich möchte von mir selbst auch nicht behaupten, dass ich viel mehr davon habe). Man kann in höherdimensionalen Räumen sowohl, lineare Algebra als auch Analysis betreiben (und bestimmt noch viele andere tolle Dinge). Das ist das eine. Das andere ist, dass man so eine allgemeine Aussage, wie "Hab gehört, dass das Kommukativgesetzt(?) oder so da nich gilt!" gar nicht treffen kann. Ein kleines Beispiel: Seien $\begin{eqnarray} \vec{v},~\vec{u} \in \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \vec{v} \cdot \vec{u}=\vec{u} \cdot \vec{v} \end{eqnarray}$ jedoch ist $\begin{eqnarray} \vec{v} \times \vec{u} \neq \vec{u} \times \vec{v} \end{eqnarray}$ . Genauso kann man Funktionen à la $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ oder auch $\begin{eqnarray} f: \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C} \end{eqnarray}$ betrachten und wiederum ganz andere "Rechengesetze" kennenlernen. Du siehst, deine Frage ist viel zu allgemein.
26.02.2009, 10:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man einmal den Körper $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ der reellen Zahlen als "eindimensionalen Zahlenraum" hat, kann man nach höher-dimensionalen reellen Zahlenräumen fragen, die $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ in natürlicher Weise als Unterkörper enthalten. 1. Man findet da zunächst den zweidimensionalen Körper $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ der komplexen Zahlen. In ihm gelten dieselben Rechengesetze wie in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Darüber hinaus besitzen in ihm alle Polynomgleichungen Lösungen, z.B. die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2 + 1 = 0 \end{eqnarray}$ die Lösungen $\begin{eqnarray} x = \pm \operatorname{i} \end{eqnarray}$ . Allerdings erkauft man das durch den Verlust der Ordnung: Man kann die aus $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ bekannte Größer-Kleiner-Beziehung von Zahlen nicht so fortsetzen, daß die üblichen Rechenregeln erhalten bleiben. 2. Hamilton versuchte im 19. Jahrhundert, einen dreidimensionalen Zahlenkörper zu finden. Bei seiner erfolglosen Suche stieß er dabei auf den vierdimensionalen Zahlenkörper $\begin{eqnarray} \mathbb{H} \end{eqnarray}$ der Hamiltonschen Quaternionen. Dabei mußte er allerdings auf die Gültigkeit des Kommutativgesetzes der Multiplikation verzichten. 3. Später fand Cayley die nach ihm benannten Cayleyschen Oktaven $\begin{eqnarray} \mathbb{O} \end{eqnarray}$ . Ob man diese achtdimensionalen Objekte noch Zahlen nennen sollte, ist fraglich, denn jetzt gilt nicht einmal mehr das Assoziativgesetz der Multiplikation. Immerhin kann man in $\begin{eqnarray} \mathbb{O} \end{eqnarray}$ aber noch dividieren. 4. Im 20. Jahrhundert gelang Forschern (zu nennen wäre da z.B. Hopf) mit Methoden der sogenannten Algebraischen Topologie der Nachweis, daß nur in den Dimensionen 1,2,4,8 reelle Vektorräume existieren, in denen eine Multiplikation der Vektoren besteht, so daß man dividieren kann. In gewisser Weise sind also $\begin{eqnarray} \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}, \mathbb{O} \end{eqnarray}$ einzig. 5. Das heißt nicht, daß man nicht anderswie Multiplikationen definieren kann. So gibt es z.B. im dreidimensionalen Raum $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ das Vektorprodukt. Dieses ist jedoch weder kommutativ noch assoziativ, hat also dieselben Mängel wie die Cayleyschen Oktaven. Darüber hinaus ist es aber auch nicht umkehrbar. Man kann also nicht dividieren. Spätestens wenn man auf die Division verzichten muß, spricht man nicht mehr von Zahlen. Mehr dazu findest du im Buch Zahlen, H.-D. Ebbinghaus u.a., Springer-Verlag. Dieses Buch setzt aber schon gute Vorkenntnisse in der Linearen Algebra voraus und auch sonst eine gewisse Vertrautheit mit der Analysis der reellen und komplexen Zahlen. In seinen Ausblicken verwendet es Erkenntnisse der Algebraischen Topologie und kategoriellen Algebra. Das ist dann auch für Profis schon starker Tobak. Jetzt hast du ein paar Namen und Stichworte bekommen und kannst auf die Google-Wikipedia-Suche gehen.
Anzeige

26.02.2009, 10:40	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war eine deutlich ausführlichere Antwort mit mehr Weitblick.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »