Lösung einer Aufgabe mittels Gram Schmidt Verfahren

25.02.2009, 11:56

California

Lösung einer Aufgabe mittels Gram Schmidt Verfahren

Hallo!

Hab mal eine Aufgabe gerechnet und wollt frage ob das so hinkommen kann!?

Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} v1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v3 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Lösung von mir:

$\begin{eqnarray*} u1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u2 = \begin{pmatrix} -1/2 \\ 0 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u3 = \begin{pmatrix} -81/16 \\ 1 \\ 33/16 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

EDIT von Calvin
LaTeX korrigiert

25.02.2009, 13:01

Reksilat

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Hi California,

Bitte schreibe in Zukunft die Aufgabenstellung dazu, das hier ist keine Rateverein und drei Vektoren bilden nunmal keine Aufgabe.

Wenn die Aufgabenstellung daraus bestand, eine Orthogonalbasis von $\begin{eqnarray*} <v_1,v_2,v_3> \end{eqnarray*}$ zu finde, dann ist Dein Ergebnis falsch, denn der Vektor $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ lässt sich offenbar nicht als Linearkombination der $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ darstellen.

Gruß,
Reksilat.

25.02.2009, 14:14

California

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o tut mir leid!Hier die Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des von Ihnen erzeugten Unterraumes.Stimmt meine Lösung dann?Habe es nach dem Wikipedia Schema gemacht...

Lg

25.02.2009, 14:27

Reksilat

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Frechheit! böse

Wozu mache ich mir die Mühe auch noch eine Aufgabenstellung herauszulesen und Dir anschließend zu sagen, dass Deine Lösung dazu falsch ist, wenn Du es nicht liest? Dass die Vektoren nicht normiert sind ist außerdem ebenso offensichtlich.

25.02.2009, 14:29

California

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o ich glaube ich habe nicht verstanden wie das Verfahren funktioniert tut mir leid :-(

Ich probiere dann nocheinmal das andere Verfahren von Wikipedia...wusste nämlich nicht welches ich von beiden nehmen sollte!!

Lg

25.02.2009, 14:36

Reksilat

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Du solltest Dir zuerst klar machen, was das Verfahren überhaupt macht, denn erst dann kannst Du mit Deiner Lösung etwas anfangen. Der Algorithmus ist dann nur noch stupide Rechenarbeit.

Wenn Du nicht weißt, was eine Orthonormalbasis ist, dann ist es vollkommen sinnlos das Gram-Schmidt-Verfahren anwenden zu wollen.

25.02.2009, 15:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von California
o ich glaube ich habe nicht verstanden wie das Verfahren funktioniert tut mir leid :-(

Ich glaube, du solltest auch verstehen, wie man Satzzeichen benutzt.

25.02.2009, 16:52

calif

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guter Tipp, hab mal ein wenig gelesen...bins total falsch angegangen...hier mal ne "neue" Lösung von mir...wobei U3 eigentlich falsch sein müsste ;-( Ist ne Klausuraufgabe und dort darf man keinen TR benutzen!

so hier mal mein neues Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} u1: \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix} u2: \begin{pmatrix} -1/(2\sqrt{2}) \\ 0 \\ 1/(2\sqrt{2}) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

u3 lass ich mal weg das kann nich stimmen...was meint ihr?

25.02.2009, 17:43

Reksilat

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$\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ ist jetzt wenigstens normiert, aber das ist ja eigentlich immer das geringste Problem. Zuerst ist es wichtig eine orthogonalen Basis zu finden - am Ende kann man immer noch jeden Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1/||v|| \end{eqnarray*}$ multiplizieren, um ihn zu normieren.

Bei Dir ist aber $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ weiterhin falsch, denn angenommen:
$\begin{eqnarray*} u_2 = \lambda_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda_3 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann sieht man an der zweiten Komponente, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_3=0 \end{eqnarray*}$ ist, anschließend zeigt die vierte Komponente $\begin{eqnarray*} \lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ ist kein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} u_2\not\in<v_1,v_2,v_3> \end{eqnarray*}$ .

Schreib doch mal Deinen Ansatz zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$

25.02.2009, 22:51

California

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ich komm irgendwie nicht zu potte :-(

Also ich bestimme zunächst U2' und darauf erhalte ich U2...aber irgendwie kann das doch so nicht stimmen??Bin langsam am verzweifeln...

25.02.2009, 23:03

Reksilat

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Passt doch alles Freude

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} u_2'=-\frac{1}{2}v_1+v_2 \end{eqnarray*}$ und somit im Erzeugnis $\begin{eqnarray*} <v_1,v_2> \end{eqnarray*}$ ; außerdem steht $\begin{eqnarray*} u_2' \end{eqnarray*}$ , und damit auch $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ , senkrecht auf $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ (das Skalarprodukt der beiden ist null) und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ hat Norm 1.

Skalare schreibt man übrigens eher von links, gekürzt dann:
$\begin{eqnarray*} u_2=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.02.2009, 23:12

California

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Geilomat ;-) Jetz gönn ich mir erst mal ein Bierchen ;-) Dank dir!

26.02.2009, 06:35

WebFritzi

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Prost!

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