Exxxxxtremwert!!

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co0kie Auf diesen Beitrag antworten »
Exxxxxtremwert!!
Hallo!!

Ich bereite mich grade auf eine Klausur vor und habe Probleme bei folgenden zwei Extremwertaufgaben:

1. http://img304.imageshack.us/img304/4585/cimg1232qt5.jpg

2. Einer Halbkugel soll ein Quader mit quadratischer Grundfläche einbeschrieben werden. Wie sind die Maße des Quaders zu wählen, wenn sein Volumen möglichst groß werden soll?

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Meine Ansätze:

zu 1.) Ich habe wie in der Aufgabe vorgeschlagen, P2 gespiegelt und hab damit sozusagen eine Gerade. Also kann ich praktisch sagen, die 3 Punkte liegen alle auf einer lin. Funktion mit der Gleichung y = mx+b.
m kann ich dann durch die Punkt-Koordinaten ausdrücken, aber was mir das bringen soll, weiß ich auch nicht :/

zu 2.) Bei 2. bin ich völlig überfragt. die Extremalbedingung V(x,y) = x² * y habe ich zwar aufgestellt, aber ich hab keine Ahnung, wie ich jetzt eine der Variablen ersetzen kann .. Strahlensatz kann ich nicht anwenden, da es ja eine Kugel ist. Pythagoras krieg ich auch nicht hin, weil mir immer eine Seite fehlt ... Habe es schon mit Flächen- und Raumdiagonalen versucht, aber entweder fehlt mir immer irgendeine Seite oder wenn es klappt, geht es nur so, dass das ganze nicht von r abhängig ist, ergo ich so tue, als sei um das Quader keine Halbkugel!
Weiß echt nicht, wie ich das noch anders angehen könnte .. Satz des Thales hab ich auch schon probiert, alles vergeblich.

Habt ihr Tipps??
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist der Anhang?
co0kie Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, mein Fehler. Ist jetzt da!!
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

2.

Betrachte den Querschnitt der Halbkugel dann wird es klarer.
Man kann den Satz des P. anwenden und y in Abhängigkeit von x und r darstellen.

Edit:

Praktischer für die Rechnung ist allerdings x in Abhängigkeit von r und y zu nehmen =)
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Kugelproblem:



So ist's doch gemeint oder?
co0kie Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm ist 0,25x² + y² = r² richtig?
 
 
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm ja =)
co0kie Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man ich glaubs ja nicht .. Und ich saß STUNDEN an dem Mist und hab das über Diagonalen und irgendwelchem anderen Mist ausprobiert.

Brett vorm Kopf gehabt .. Danke euch beiden!!

Zu Aufgabe 1 vielleicht auch ne Idee??^^
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe 1 ist total hohl. Big Laugh
Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

also intuitiv könnte ich die Lösung zu 1. sofort sagen aber rechnerisch weiss ich nich ^^
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

@ co0kie in solchen Fällen öfter mal Pause machen =)

Zu 1.

Sind P1 und P2 feste Punkte? Dann würd ich das als Fangfrage abstempeln vorausgesetzt das Reflexionsgesetz soll erhalten bleiben.
co0kie Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, also ich denke mal, dass P1 und P2 festgesetzte Punkte sind!!
Aber genau kann ich es nicht sagen .. Weiß auch nicht mehr als ihr bezüglich dieser Aufgabe, so steht sie im Buch unglücklich

Was meinst du mit Reflexionsgesetz?
Einfallswinkel = Ausfallswinkel?

Somit wäre die Steigung der Geraden, auf der P1 liegt, ja praktisch die Gegenzahl von der, auf der P2 liegt, oder?
Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

also ich denke, dass P1 fest ist und P2 veränderbar ist, bzw. umgekehrt, denn wie sollte man sonst den Punkt der Reflexion verändern?
co0kie Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm stimmt .. Wenn das Reflexionsgesetz gelten soll, dann verändert sich ja immer der Winkel, und folglich die Steigung der Geraden.

Ich steig da einfach nicht durch .. Da ist ja gar nichts angegeben .. Absolut gar nichts!!
Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

sind da keine Zahlen angegeben? geschockt
co0kie Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, wie gesagt, so und nicht anders steht die Aufgabe in meinem Buch :/

Ich hab nen Ansatz, aber ich weiß nicht, ob der passt:
Wenn man P2 an g spiegelt (in der Zeichnung schwarz eingezeichnet), dann kann man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Punkten P1, P2' und U(0|0) beschreiben. Dieses Dreieck hat dann die Hypotenuse P1P2'.
Und besagte Hypotenuse müsste dann ja minimal werden ..
Meint ihr damit geht das? Ich probiere es mal aus!!
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Achtung, du sollst hier kein Extremalproblem diskutieren!
co0kie Auf diesen Beitrag antworten »

Sondern?

Die Aufgabe verlangt doch, dass die Strecke P1_P_P2 minimal wird .. ?
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, in der Aufgabenstellung steht: "Ohne Differentialrechnung"..
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

@co0kie nicht P1P2 soll minimal werden sonder P1PP2

@zahlentheorie macht doch nix trotzdem soll die strecke minimal werden
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich ergibt diese Aufgabe aber noch immer keinen Sinn, zumal nicht bekannt ist, ob geändert werden dürfen. (außer durch Spiegelung)

Edit, naja, die Strecke ist minimal, wenn die Punkte so dicht wie möglich an der -Geraden mit dem richtigen Eintritts- und Austrittswinkel hängen..
co0kie Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich nehme mal, die Strecke ist minimal, wenn die Punkte alle dieselbe x-Koordinate haben und ihre y-Werte so nah wie möglich aneinander liegen. Aber wie man sowas mathematisch begründen kann, weiß ich null niente ._.

Naja, sei's drum, ich mach mich mal an andere Aufgaben ran und hak die mal ab. Denke auch nicht, dass sowas in der Klausur vorkommt, aber wollte mal wissen, wie sowas zu lösen ist ...

Wer noch nen Vorschlag hat, darf sich gerne hier noch mal zu Wort melden, ich werd den Thread weiter verfolgen ^^
Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

also ich würde einfach sagen die minimale Strecke ist, vorausgesetzt P1 ist fixiert, wenn P2 auf der gleichen x-Koordinate liegt
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Und diese Erkenntnis hast du jetzt durch Spiegelung entnommen? Augenzwinkern (wie in der Aufgabenstellung)
Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke mal, ... die Aufgabe sollte nur zeigen, dass die Differentialrechnung unverzichtbar bei solchen Problemen ist.
ullim Auf diesen Beitrag antworten »

Seien

und



sowie die Strecke = und die Strecke =

dann ist die Gesamtstrecke

Wegen des Reflexionsgesetzes gilt

und

also




D.h. ist minimal wenn maximal wird. D.h.



Also müssen die beiden Punkte und übereinander liegen.
co0kie Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ullim,

Klingt alles plausibel, danke für deinen Lösungsweg!!
Wär ich niemals drauf gekommen ^^
co0kie Auf diesen Beitrag antworten »

neues problemus:

Ein Kegel soll einer Kugel einbeschrieben werden. Mantelfläche des Kegels soll dabei maximiert werden.

Ich komm da einfach nicht drauf ._. Pythagoras bringt nicht wirklich was, Strahlensatz kann ich auch nicht sinnvoll anwenden ...

Diese Aufgaben, in denen etwas einer Kugel einbeschrieben werden, machen mich einfach kaputt :/
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, doch. Satz des Pythagoras. Mach' dir mal 'ne ordentliche Skizze. Augenzwinkern
co0kie Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich, dann kann ich s² = r² + h² machen .. Aber dann ist der Kegel unabhängig von der Kugel, und ich muss ja was finden, was s in abhängigkeit von r und R (Kugelradius) ausdrückt!
zt Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, der Kegel stößt ja nicht oben und unten gleichsam an die Kugel. Eine weitere Bedingung, macht deine obige Formel von der Kugel abhängig!
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