Beweis Konvergenz einer Reihe

25.02.2009, 16:17

freedom

Beweis Konvergenz einer Reihe

Hallo Leute,

Die notwendige Bedingung, dass eine Reihe (Sn) konvergiert ist, dass die Folge (An) --> 0 konvergiert.

Wie kann ich das beweisen?

Ich habe mir das intuitiv so überlegt, dass

(Sn) --> s, wenn (Folge der Partialsummen) --> 0

Die Notwendige Bedingung für letzteres ist, dass (An) --> 0 konvergiert.

Ich zweifel noch, ob das (zumindest formal) so richtig ist.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Viele Grüße,

Sascha.

25.02.2009, 16:26

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Warum jedes mal das Rad neu erfinden? Du darfst doch sicher folgende Grundregel des Rechnens mit Grenzwerten verwenden:

Zitat:

Sind die Folgen $\begin{eqnarray*} (u_n),(v_n) \end{eqnarray*}$ konvergent, dann konvergiert auch die Differenzfolge $\begin{eqnarray*} (u_n-v_n) \end{eqnarray*}$ , und zwar mit Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (u_n-v_n) = \lim\limits_{n\to\infty} u_n - \lim\limits_{n\to\infty} v_n \end{eqnarray*}$

Und jetzt wähle doch einfach $\begin{eqnarray*} u_n=s_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_n=s_{n-1} \end{eqnarray*}$ (d.h. Indexverschiebung). Wegen $\begin{eqnarray*} a_n= s_n-s_{n-1} \end{eqnarray*}$ ist dann alles bewiesen.

25.02.2009, 16:40

Jacques

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RE: Beweis Konvergenz einer Reihe
Hallo,

Eine kurze Korrektur:

@ freedom:

Du hast die Reihenfolge der Aussagen vertauscht. „A ist notwendige Bedingung für B“ bedeutet „B => A“. Also nicht

Zitat:

Original von freedom

(Sn) --> s, wenn (Folge der Partialsummen) --> 0

Sondern

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \to s \ \Rightarrow\ a_k \to 0 \end{eqnarray*}$

25.02.2009, 17:03

freedom

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Danke erstmal für die schnellen Antworten!

@Jacques: Ich bemühe mich, die Feinheiten der notwendigen und hinreichenden Bedingung in den Griff zu bekommen.

@Arthur Dent:

Mit den Rechenregeln bin ich vertraut. Auch das $\begin{eqnarray*} a_n= s_n-s_{n-1} \end{eqnarray*}$ ist.

Daraus kann ich schließen, dass (An) --> konvergiert?
Ich habe das jetzt so verstanden: Weil die (Sn) und (Sn-1) -->0 konvergieren, konvergiert auch (An)--> 0 ?

Vielen Dank und beste Grüße,

Sascha. smile