Problem: Taylorreihe von sqrt(1+x) mit "0,5 über k"

25.02.2009, 16:37

waynejuckts147

Problem: Taylorreihe von sqrt(1+x) mit "0,5 über k"

Hallo,

beim Rechnen einer Aufgabe habe ich ein kleines Prob. Gegeben:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x}= \sum_{k=0}^\infty \end{eqnarray*}$ (0,5 über k) x^k

soweit so gut.

In der Aufgabe war gefordert die Reihe für sqrt(7+x) zu entwickeln, was kein großes Problem ist.

Dann sollte aber eben mit dieser Reihe ein Grenzwert gebildet werden (seht am besten selbst die Aufgabe: http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koe...df/m12kl05m.pdf Aufgabe (5)).

Ich komm mit dem (0,5 über k) nicht zurecht. Wie kann man sich das vorstellen, so dass daraus wie in der Lösung "1/2", "-1/8"etc wird? In der Vorlesung hatten wir solche Binomialkoeffizienten definitv nicht...

danke im voraus

25.02.2009, 16:41

Auf diesen Beitrag antworten »

Binomialkoeffizient

25.02.2009, 17:03

waynejuckts147

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich nich korrekt ausgedrückt, sorry, bzw. ich bin falsch verstanden worden.

Mit "solchen" Binomialkoeffizienten meinte ich, wie in der Aufgabe, welche mit NICHT-natürlichen Zahlen: "0,5 über k".

25.02.2009, 17:19

Auf diesen Beitrag antworten »

wieder diese bedauerliche Ignoranz...
Das habe ich schon so verstanden, und deswegen auf genau den Beitrag verlinkt. Gründlich L E S E N ! Forum Kloppe

Zitat:

Original von Arthur Dent
Dann hat sich aber herausgestellt, dass die Definition

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} := \frac{1}{k!} \prod\limits_{j=0}^{k-1} ~ (n-j)\qquad (2) \end{eqnarray*}$

wegen des größeren Definitionsbereiches für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

... der umfasst bei dieser Definition alle reellen Zahlen, also speziell auch $\begin{eqnarray*} n=0.5 \end{eqnarray*}$ .

25.02.2009, 19:45

waynejuckts147

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: wieder diese bedauerliche Ignoranz...

Zitat:

Original von Arthur Dent
Das habe ich schon so verstanden, und deswegen auf genau den Beitrag verlinkt. Gründlich L E S E N ! Forum Kloppe

Zitat:

... der umfasst bei dieser Definition alle reellen Zahlen, also speziell auch $\begin{eqnarray*} n=0.5 \end{eqnarray*}$ .

Die Rüge ist gerechtfertigt. Und ich bin begeistert. Die Mathematik steckt voller Wunder smile

Danke!

25.02.2009, 23:48

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Kurze Zwischenfrage von mir: Ich kenne den Binomialkoeffizienten bisher nur aus der einfachen Kombinatorik, zum Beispiel vom Lotto 6 aus 49. Dafür gilt natürlich dann die Definition mit den Fakultäten und es werden nur n und k aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ akzeptiert.

Meine Frage lautet: Sagt der Binomialkoeffizient auch für nicht-natürliche n noch etwas "sinnvolles" aus? verwirrt

Ich würde ja tendenziell nein sagen, aber man kann ja nie wissen. Augenzwinkern

27.02.2009, 10:54

Auf diesen Beitrag antworten »

Im kombinatorischen Sinne natürlich nicht, denn i.a. kommen dann ja auch gar keine ganzen Zahlen mehr heraus. Für die Binomische Reihe werden aber solche Binomialkoeffizienten nun mal gebraucht.

Im übrigen ist die erweiterte Definition aber auch für manche Konstellationen ganzer Argumente sinnvoll, etwa für $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k>n>0 \end{eqnarray*}$ :

Die Fakultätsdefinition versagt hier, während die erweiterte Definition da

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} = 0 \end{eqnarray*}$

ergibt, was ja auch kombinatorisch Sinn macht: Wenn man aus einer Menge von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Elementen ohne Zurücklegen mehr auswählen will, als überhaupt da ist, dann ist die Anzahl solcher Auswahlmöglichkeiten gleich Null. Augenzwinkern

27.02.2009, 11:01

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank. Die "binomische Reihe" ist ein völlig neues Stichwort für mich. Freude

27.02.2009, 11:25

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Schon für ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} n,k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq 0 \end{eqnarray*}$ hat die Festsetzung

$\begin{eqnarray*} {n \choose k} = 0 \, , \ \ \text{falls} \ \ k<0 \ \ \text{oder} \ \ k>n \end{eqnarray*}$

Vorteile. Die Regel vom "Pascalschen Dreieck" wird zur Regel der "Pascalschen Halbebene":

$\begin{eqnarray*} {n \choose {k-1}} + {n \choose k} = {{n+1} \choose k} \ \ \mbox{für alle} \ \ k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Oft braucht man bei Induktionsbeweisen für Summenformeln diese Regel. Man muß sich dann in den Summen nicht mehr um die lästigen möglicherweise undefinierten Randsummanden kümmern.

Neue Frage »

Antworten »

Problem: Taylorreihe von sqrt(1+x) mit "0,5 über k"

Verwandte Themen