Gesucht: Quadratzahl

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25.02.2009, 18:00	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
Gesucht: Quadratzahl Suche alle natürlichen Zahlen n, für die gilt: $\begin{eqnarray} 2^8+2^{11}+2^n \end{eqnarray}$ ist eine Quadratzahl. Ich habe heruasgefunden, das ich die Gleichung so umschreiben kann: $\begin{eqnarray} 48^2+2^n=x^2 \end{eqnarray}$ wobei x^2 beliebig und die Quadratzahl ist. weiter gehts so: $\begin{eqnarray} 2^n=(x+48)(x-48) \end{eqnarray}$ nun weiss ich aber leider nicht weiter. Ich habe durch ausprobieren rausgefunden, dass n= 12 ist. Meine Vermutung ist, das es keine anderen Lösungen gibt. Aber das muss ich jetzt irgendwie beweisen. Keine ahnung wie. Ein Tipp wäre toll. LG
25.02.2009, 18:09	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib mal $\begin{eqnarray} x-48=u \end{eqnarray}$ Dann hast du $\begin{eqnarray} 2^n=(u+96)u \end{eqnarray}$ Die Primfaktorzerlegung der linken Seite besteht nur aus 2en. Die rechte also auch. Also ist das Ziel 2er Potenzen zu bestimmen, die den Abstand 96 haben. Da kann es nicht soviele geben, die sind schnell alle durchprobiert
25.02.2009, 18:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gesucht: Quadratzahl Klammer mal aus: $\begin{eqnarray} 2^8 (1 + 2^3 + 2^{n-8}) = 2^8 * (9 +2^{n-8}) \end{eqnarray}$ Da 2^8 eine Quadratzahl ist, muss nur noch 9 +2^(n-8) eine sein. Vlt kannst du so weiter rechnen. $\begin{eqnarray} x^2 - 9 = 2^z \end{eqnarray}$ mit z:=n-8, z > 8 $\begin{eqnarray} (x-3)(x+3) = 2^z \end{eqnarray*}$ Nun muss nur noch beides aus 2er Vielfachen bestehen. Der Abstand zwischen den 2^n Werten wird immer größer; sobald sie größer als 3 - (-3) = 6 ist, kann es nicht mehr stimmen.
25.02.2009, 18:19	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
das hört sich einfach an. aber leider versteh ich das nicht ganz. also klar, die Primfaktorzerlegung der rechten Seite muss eine zweier Potenz sein. Aber was meinst du damit, zweier Potenzen die den Abstand 96 haben? Irgendwie kann ich mir darunter nichts vorstellen. Also suche ich jetzt zwei Zahlen a,b so dass O.B.d.A a-b=96 und a und b sind zweier Potenzen??? Oder wie ist das gemeint?
25.02.2009, 18:55	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, also was genau ist jetzt mir dem Abstand von 96 gemeint? irgendwie versteh ich die idee dahinter gerade gar nicht.
25.02.2009, 19:09	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ muss eine Zweierpotenz sein, und $\begin{eqnarray} u+96 \end{eqnarray}$ auch, das erfordert die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. EDIT: Ach du kaust nur an dem Begriff "Abstand" rum? Na wenn dir "(Betrag der) Differenz" besser gefällt...
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25.02.2009, 19:23	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich glaube das hilft mir auch nciht mehr. Also ich hab ja verstanden, das laut dem Satz der Primfaktorzerlegung sowohl u als auch u+96 als zweierpotenz darstellbar sein muss. Aber damit weiss ich einfach nichts anzufangen. Aber danke für die Bemühungen und alternativen Begriffsformulierungen
25.02.2009, 19:57	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na geh doch weiter systematisch vor: Was heißt das, dass beide Zweierpotenzen sind? Nun, dann gibt es natürliche Zahlen $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u = 2^a, \quad u+96 = 2^b \end{eqnarray}$ , wegen $\begin{eqnarray} u < u+96 \end{eqnarray}$ muss dann auch $\begin{eqnarray} a < b \end{eqnarray}$ gelten. Jetzt kommt der "Abstand" ins Spiel: $\begin{eqnarray} 96 = (u+96) - u = 2^b - 2^a = 2^a\cdot \left( 2^{b-a}-1 \right) \end{eqnarray}$ , oder um mal den Zaunpfahl noch deutlicher zu schwenken: $\begin{eqnarray} 2^5 \cdot 3 = 2^a\cdot \left( 2^{b-a}-1 \right) \end{eqnarray}$ . Nun aber!
25.02.2009, 20:08	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay den Schwenk konnte selbst ich nicht übersehen. Also ist eine Lösung a=5 und b=7. Puh schwere Geburt. Das ist die einzige Lösung, da $\begin{eqnarray} 2^x \end{eqnarray}$ injektiv ist. Zurückgerechnet bekomme ich dann n=12 als einzige Lösung. Ist das jetzt richtig? (gut fühl ich mich mit der Lösung immernoch nicht) Vielen Dank!
25.02.2009, 20:09	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es.

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