Satz gesucht: Vertauschung Integral u Summe

25.02.2009, 19:53

zeusosc

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Satz gesucht: Vertauschung Integral u Summe

Jo,

ich habe leider vergessen unter welchen bedingung ich eine Summe u Integral vertauschen kann.

Könnt ihr mir schnell den Namen des Satzes verraten. Thx

--------------------------
edit:

$\begin{eqnarray*} \int\sum \ldots=\sum\int \ldots \end{eqnarray*}$

25.02.2009, 19:59

Himbeer-Toni

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RE: Satz gesucht: Vertauschung Integral u Summe
Unter dem Stichwort 'gleichmäßige Konvergenz' solltest Du das passende Sätzlein für die Vertauschung von Summierung und Integration finden.

25.02.2009, 20:14

zeusosc

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Ich dachte die gleichmäßige Konvergenz spielt nur eine rolle wenn eine funktionen schar gegen eine grenzfkt konvergiert, so kann ich den lim und das int vertausche,...

Meinen gedächniss zufolge kann ich aber bei einer summe von nicht gegen einer grenzfkt konvergierender fktschar das int mit der summe trozdemvertauschen, selbst wenn die reihe unendlich ist.

Kann es sein das die vertauschung nur konstruktiver natur ist?

Bsp.:

$\begin{eqnarray*} \int\sum_rb(r)=\int (b(1)+b(2)+b(3)+\ldots)=\int b(1) + \int b(2) + \ldots = \sum_r\int b(r) \end{eqnarray*}$

gruß
--------------------
edit:
falls ja-> thread close
falls nööö -> bitte korregieren
thx nochmal

25.02.2009, 23:04

system-agent

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Mir ist ehrlich gesagt ziemlich unklar was du meinst.
Das was du mit deinem Integral und der Summe gemacht hast ist ja gerade das, was man begründen muss.

Himbeer-Toni hat schon das richtige Stichwort genannt und falls du doch noch etwas anderes suchst, verweise ich dich auf den Satz von Beppo Levi.

26.02.2009, 08:14

gast1

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Das hängt entscheidend vom Integralbegriff ab. Haben wir es mit einem nutzlosen Integral wie dem Riemann-Integral zu tun oder handelt es sich um ein vernünftiges, z.B. das Lebesgue-Integral?

26.02.2009, 10:35

Mulomakeimer

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Zitat:

Original von zeusosc
Meinem Gedächtnis nach, kann ich aber bei der Summe einer, nicht gegen eine Grenzfunktion konvergierenden, Funktionenschar das Integral mit der Summe vertauschen, selbst wenn die Summe unendlich ist.

Selbst nach Beseitigung der orthographischen Besonderheiten innerhalb obiger Ausführungen, ist mir unklar worauf Du eigentlich hinaus willst.

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26.02.2009, 10:44

Mulomakeimer

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Nutzlos+Unvernünftig!!!

Zitat:

Original von gast1
Das hängt entscheidend vom Integralbegriff ab. Haben wir es mit einem nutzlosen Integral wie dem Riemann-Integral zu tun oder handelt es sich um ein vernünftiges, z.B. das Lebesgue-Integral?

Hättest Du geschwiegen wärest Du ein Philosoph geblieben!

26.02.2009, 13:53

system-agent

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Zitat:

Original von gast1
Das hängt entscheidend vom Integralbegriff ab. Haben wir es mit einem nutzlosen Integral wie dem Riemann-Integral zu tun oder handelt es sich um ein vernünftiges, z.B. das Lebesgue-Integral?

Wieso sollte das Riemann-Integral nutzlos sein?

26.02.2009, 19:37

gast1

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Es ist ein historisches Relikt, für dessen Verbreitung in der universitären Lehre es sonst keinen Grund gibt. Niemand, der in einem analytischen Gebiet tätig ist, verwendet das Riemann-Integral. Es ist nämlich gerade wegen seiner nicht vorhandenen Verträglichkeit mit Grenzübergängen zu nichts zu gebrauchen.

27.02.2009, 04:44

WebFritzi

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Ich stimme gast1 zu. Der einzige Vorteil des RIs ist der anschaulich leichter verständliche Zugang.

27.02.2009, 09:26

Himbeer-Toni

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Nur weil man mit dem L-Integral über einen allgemeineren Integralbegriff verfügt, ist das R-Integral noch lange nicht nutzlos und zu nichts zu gebrauchen.
In der vorliegenden Formulierung halte ich diese Aussagen für ebenso unangemessen wie unsachlich und daher kommen sie -für meinem Geschmack- leicht pubertär daher.

Würde man dieser Logik folgen, liessen sich z.B. auch reelle Analysis und euklidische Geometrie als Spezialfälle allgemeinerer Theorien in Frage stellen.

27.02.2009, 11:35

gast1

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Wo habe ich geschrieben, dass es nutzlos sei, da das L-Integral allgemeiner ist? Es ist nutzlos, weil es mit Grenzübergängen unverträglich ist, das ist alles.
Gäbe es einen Integralbegriff, der sich noch besser als das L-Integral verhält, würde ich weiterhin das L-Integral als gutes Integral bezeichnen, da man damit prächtig arbeiten kann. Das kann man vom R-Integral nicht behaupten und deshalb verwendet es auch niemand, der ernsthaft in der Analysis tätig ist.
Die Logik, die Du mir unterstellst, findet sich in keinem meiner Beiträge.

27.02.2009, 12:11

Leopold

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gast1 ist ein schönes Beispiel dafür, daß es auch in der Mathematik Fundamentalisten gibt. Aber schon Lebesgue selber hatte es nötig, seinen Vorläufer herabzuwürdigen. Ich zitiere nach Oliver Deiser, Reelle Zahlen, Springer 2007, Seite 212:

Lebesgue (1966)
The geometers of the seventeenth century considered the integral of f(x) - the word "integral" had not been invented, but that does not matter - as the sum of an infinity of indivisibles, each of which was the ordinate, positive or negative, of f(x). Very well! We have simply grouped together the indivisibles of comparable size. We have, as one says in algebra, collected similar terms. One could say that, according to Riemann's procedure, one tried to add the indivisibles by taking them in the order in which they were furnished by the variation in x, like an unsystematic merchant who counts coins and bills at random in the order in which they came to hand, while we operate like a methodical merchant who says:

I have m(E1) pennies which are worth 1·m(E1),
I have m(E2) nickels worth 5·m(E2),
I have m(E3) dimes worth 10·m(E3), etc.

Altogether then I have

S = 1·m(E1) + 5·m(E2) + 10·m(E3) + ...

The two procedures will certainly lead the merchant to the same result because no matter how much money he has there is only a finite number of coins or bills to count. But for us who must add an infinite number of indivisibles the difference between the two methods is of capital importance.

Einerseits beschreibt Lebesgue die Grundidee seines Integralbegriffs sehr anschaulich. Aber ist die Spitze gegen Riemann wirklich nötig? Wahre Größe besticht durch sich selbst, nicht dadurch, daß man andere kleiner macht.

Ich bin für Liberalität. Der viel einfacher zugängliche Riemannsche Integralbegriff genügt für viele Bereiche der Analysis vollkommen. Und wo es um Grundlagenfragen der Maß- oder Wahrscheinlichkeitstheorie geht, bedarf es des umfassenderen, aber auch viel aufwendigeren Lebesgueschen Integrals.

Auch Euklid bleibt einer der größten Mathematiker aller Zeiten, mögen auch manche seiner Definitionen und Ansichten heutigen strengen Maßstäben nicht mehr genügen. Und deswegen wird auch weiterhin Euklidische Geometrie gelehrt werden, auch wenn die Physiker den Raum für endlich und krumm oder sonstwas halten. Alles hat seinen Platz. Auch Einsteins Relativitätstheorie macht Newtons Mechanik nicht überflüssig.

27.02.2009, 18:55

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leopold
Der viel einfacher zugängliche Riemannsche Integralbegriff

Ich habe nochmal drüber nachgedacht. So schwer zugänglich ist das Lebesgue-Integral gar nicht. Ich habe seinerzeit ein kleines 2seitiges Skriptum verfasst, in dem auf einer einzigen Seite das Lebesgue-Integral eingeführt wird. Siehe hier:

http://www.math.tu-berlin.de/~philipp/Le...08/Lebesgue.pdf

Klar ist es sehr kurz gehalten, und einiges bedarf eines Beweises. Aber so viel ist das gar nicht. Und während viele Notationen bzgl. des Riemann-Integrals sehr fisselig daherkommen (diese schrecklichen Zerlegungen usw.), kann man die Lebesgue-Theorie doch schön überschauen.

Liberal ist schön und gut, Leopold. Aber gast1 hat recht: das Riemann-Integral wird einfach nicht benutzt. Also ist das Wort "nutzlos" gar nicht so fehl am Platze. Für mich ist das Lebesgue-Integral ein "Update" des Riemann-Integrals mit vielen schönen neuen Features. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.02.2009, 21:40

zeusosc

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Ich hätte nicht gedacht das der thread so entartet Big Laugh

Big Laugh

Ich hatte mich vlt wieder mal etwas unglücklich ausgegdrückt,
da es in dieser form keine "exakte" beschreibung war....

Ich will versuchen dies nachzuholen,
in dem ich das Beispiel noch mal anführe,
die folgerung ist durch die Linearität des Integrals begründet:
$\begin{eqnarray*} \int dx(f(x)\pm g(x))=\int dx f(x) \pm \int dx g(x) \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich net irre gilt dies wohl für RI als auch LI.

Bezeichne nun $\begin{eqnarray*} f_r(p) \end{eqnarray*}$ eine schar von fkt's, $\begin{eqnarray*} \exists\neg f(p): f(p)=\lim_{r\rightarrow\infty}f_r(p) \end{eqnarray*}$

Nun ist
$\begin{eqnarray*} \int dp \sum_r f_r(p)=\int dp \left(f_1(p) + f_2(p)+\ldots\right) \end{eqnarray*}$
und aufgrund der Linearität würde doch folgern
$\begin{eqnarray*} \int dp f_1(p) +\int dp f_2(p) + \int dp f_3(p) +\ldots = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum_r\int dp f_r(p) \end{eqnarray*}$

Ist diese folgerung richtig?

Danke nochmal führ den Satz von Levi und den Link vom LI, hat sich gelohnt dies nochmal schnell zu überfliegen.

@WebFritzi:
bist du von der TUB ?

greetz

27.02.2009, 22:18

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von zeusosc
Meinen gedächniss zufolge kann ich aber bei einer summe von nicht gegen einer grenzfkt konvergierender fktschar das int mit der summe trozdemvertauschen, selbst wenn die reihe unendlich ist.

Vielleicht kannst du das ja nochmal so ausdrücken, dass man es versteht?! Was du mit "Schar" meinst, ist wohl eine Folge. Und bei Funktionenfolgen $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ gilt unter geeigneten Voraussetzungen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\int_I~f_n(x)~\mathrm dx=\int_I~\lim_{n\to\infty}f_n(x)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ .

Dann muss das aber unter geeigneten Voraussetzungen natürlich auch für Reihen gelten, jede Reihe ist ja nichts anderes als eine Folge (nämlich die Folge der Partialsummen). Wenn also z.B. eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~f_n(x) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann gilt natürlich auch

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\int_I~f_n(x)~\mathrm dx=\int_I~\sum_{n=1}^{\infty}~f_n(x)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von zeusosc
Kann es sein das die vertauschung nur konstruktiver natur ist?

Wie meinst du "konstruktiv"?

Zitat:

Original von zeusosc
Ist diese folgerung richtig?

Nein, sie ist falsch. Die Linearität des Integrals gilt nur bei endlich vielen Summanden. Es gilt also

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^m~\int_I~f_n(x)~\mathrm dx=\int_I~\left(\sum_{n=1}^m~f_n(x)\right)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du in dieser Gleichung gerne $\begin{eqnarray*} m\to\infty \end{eqnarray*}$ gehen lassen unter geeigneten Konvergenzvoraussetzungen, auf mehr als

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\int_I~f_n(x)~\mathrm dx=\lim_{m\to\infty}\int_I~\left(\sum_{n=1}^m~f_n(x)\right)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

wirst du aber nicht kommen und das ist nicht das, was du wolltest.

28.02.2009, 20:08

WebFritzi

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Zitat:

Original von zeusosc
@WebFritzi:
bist du von der TUB ?

Nein

smile

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