Volumen Kegel

26.02.2009, 02:08

mat e.

Volumen Kegel

Hallo,
Ich weiß zwar, wie man bei dieser Aufgabe vorgehen soll und was die Lösung ist (ich hab ein Lösungsbuch), aber ich komme bei dieser Aufgabe nicht auf die Lösung!

Die Aufgabe heißt:

Ein hohler Kegel hat innen den Grundkreisradius 1/2 a und die Höhe a. Er wird, wenn die Spitze oben ist, bis zur Höhe 1/2 a mit Wasser gefüllt. Dann dreht man die Spitze nach unten. Wie hoch steht nun das Wasser in dem Kegel?

Lösung:

Volumen der Flüssigkeit:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{16} \cdot a^{3} \end{eqnarray*}$

Die Höhe des Wassers ist:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{ \frac{1}{2}} \cdot a \end{eqnarray*}$

So bin ich vorgegangen:

V1 ist immer das Volumen mit der Flüssigkeit!

Strahlensatz (beim noch nicht gedrehter Kegel):

Höhe(Kegel)/Radius(Kegel)= Höhe(V2): Radius(V2)

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{0,5a}=\frac{0,5a}{r}\Rightarrow r=\frac{a}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V1=Vges-V2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V1=\frac{a}{2}^{2} \cdot \pi \frac{1}{3}-\pi \frac{1}{3} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{4}^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V1=\pi \cdot \frac{a^{3}}{12}-\pi \cdot \frac{a^{3}}{96} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V1=\pi \cdot a^{3} \cdot \frac{7}{96} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V1=\pi \cdot \frac{7}{96} \cdot a^{3} \end{eqnarray*}$

Da das Volumen ja nicht mit den Lösungen übereinstimmt, hab ich nicht weitergerechnet!

Was stimmt an meiner Rechnung nicht?

Danke schon mal an alle, die meine Aufgabe überhaupt durchlesen! Ich hätt doch gern gewusst, warum meine Rechnung nicht stimmt.

Edit (mY+): LaTex verbessert. Das Ende von LaTex mit [/latex] und nicht mit [\latex] markieren!

26.02.2009, 02:48

mat e.

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Sorry ich bin neu und ich hab's noch nicht so gut mit der Latex-Schrift! Hier nochmal die Rechnung, diesmal aber nicht Latex...

V1 = Vges - V2 = (0,5a)^2*pi*1/3 - pi*1/3*0,5a*(0,25a)^2 = pi*a^3/12-pi*a^3/96 = pi*a^3*7/96

Hätte ich 1/96*a^3*pi weniger, so käme ich zur Lösung 6/96 bzw. 1/16*a^3*pi.

26.02.2009, 03:15

Bjoern1982

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Du bist in diesem Bereich hier sowas von falsch unglücklich

Hier geht es nur um Diskussionen über irgendwelche OffTopic-Themen, aber nicht um Aufgaben, dafür gibt es die entsprechenden Bereiche im Schul oder Hochschul Forum.

26.02.2009, 07:29

WebFritzi

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Off-Topic = nichtmathematisch

26.02.2009, 11:08

sulo

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Hi, ich habe das Volumen mit der Formel für den Kegelstumpf gerechnet (also einen anderen Ansatz gewählt) und das gleiche wie Du raus ... smile

Bist Du sicher, dass die Lösung im Buch richtig ist?

LG sulo

26.02.2009, 11:34

mYthos

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Woher hast du die Lösung des Buches, bist du vielleicht beim falschen Beispiel? Denn die Lösung kann schon deswegen nicht stimmen, weil beim Volumen das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ nicht dabeisteht. Aber sie ist doppelt falsch, weil die 2 unter der dritten Wurzel nichts verloren hat und im Zähler 7 stehen sollten.
______

Um die neue Höhe der Flüssigkeit zu bestimmen, ist nicht einmal die Kenntnis der Volumina notwendig, auch nicht das des Kegelstumpfes. Wir verwenden die Tatsache, dass sich die Volumina wie die dritten Potenzen der Längen verhalten.

Ein Kegel, der von der Basis an bis zu halben Höhe gefüllt ist, hat demnach 1/8 seines Volumens an der Spitze noch leer und ist daher zu 7/8 voll. Dreht man den Kegel um, so entsprechen 7/8 des Volumens dem neuen Füllstand h. h muss demnach das dritte Wurzel aus 7/8 - fache der ursprünglichen Höhe (a) sein, also

$\begin{eqnarray*} h = a \sqrt[3]{\frac{7}{8}} = a \frac{\sqrt 7}{2} \end{eqnarray*}$

Man sieht, es ist mehr oder weniger sogar eine Kopfrechnung.

mY+

26.02.2009, 11:46

sulo

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@mYthos
Du schreibst:

Zitat:

Denn die Lösung kann schon deswegen nicht stimmen, weil beim Volumen das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ nicht dabeisteht.

Das verstehe ich nicht. verwirrt

Meine Formelsammlung sagt mir für das Volumen:

- eines Kegels: $\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3} \pi \cdot r^{2} \cdot h \end{eqnarray*}$

- eines Kegelstumpfes (mit der Formel habe ich gerechnet): $\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3} \pi \cdot h \cdot (r_1^{2} + r_1 \cdot r_2 + r_2^{2} ) \cdot h \end{eqnarray*}$

Und es ist doch eleganter, die Lösung mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ anzugeben, als krumme Zahlen zu nennen, was man ja gerne zusätzlich machen kann.

Oder habe ich bei dem Zitat was ganz missverstanden ?? verwirrt

26.02.2009, 12:18

mat e.

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danke!
Ich hab mich nochmal versichert, dass ich an der richtigen Stelle geschaut habe.
Lösungsbücher sind halt auch nicht immer richtig. Danke an alle!

Der Lösungsweg von dir mYthos, gefällt mir am besten^^

26.02.2009, 12:58

mYthos

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RE: Volumen Kegel

Zitat:

Original von mat e.
...
Lösung:

Volumen der Flüssigkeit:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{16} \cdot a^{3} \end{eqnarray*}$
...

@sulo: Darauf habe ich mich bezogen! Und, wie auch immer (es stimmt natürlich auch so nicht), es fehlt ganz offensichtlich das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

mY+

26.02.2009, 14:58

mYthos

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http://www.mathehotline.de/cgi-bin/mathe...w.cgi?24/475015

verwirrt

Wenn du das dort auch bist, der dies gepostet hat, merke dir bitte: Ein- und dieselbe Aufgabe nur in EINEM Forum posten!!

mY+

27.02.2009, 17:39

Alex-Peter

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RE: Volumen Kegel
Anbei eine Zeichnung, ich habe es rechnerisch gelöst und danach die Zeichnung angefertigt. Es müsste so stimmen. Für a habe ich 12cm gewählt. R = 6cm
2. man muss es 2 Mal antippen, dann ist es gut lesbar,
die beiden Maße 16 ? ? müssen 60 mm heißen,

28.02.2009, 23:06

mat e.

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RE: Volumen Kegel
vielen dank, dass hilft mir sehr.

Ja, tut mir leid, ich war es dort auch unglücklich

Ich hab die Antwort da übersehen :/

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Volumen Kegel

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