lineare Kombinierbarkeit des ggT

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26.02.2009, 11:25	Lana***	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Kombinierbarkeit des ggT Hey, ich hab da mal ne dringende Frage... hab da 2 normierte Polynome mit einer gemeinsamen Nullstelle modulo p. Wieso kann der ggT der Restklassen [f] und [g] wegen der linearen Kombinierbarkeit nicht 1 sein???? Hab da schon tagelang dran rumüberlegt, komm aber einfach ned drauf!!!
26.02.2009, 11:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe die Frage so, daß du zwei normierte Polynome $\begin{eqnarray} f(x), g(x) \in \mathbb{Z}_p[x] \end{eqnarray}$ über dem Körper der ganzen Zahlen modulo $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ mit einer gemeinsamen Nullstelle $\begin{eqnarray} a \in \mathbb{Z}_p \end{eqnarray}$ hast. Von was für Restklassen sprichst du dann? Was ist also mit $\begin{eqnarray} [f(x)], [g(x)] \end{eqnarray}$ gemeint? Was ist das Ideal, nach dem faktorisiert wird?
26.02.2009, 12:03	Lana***	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit [f],[g] meint ich $\begin{eqnarray} \=f und \=g mit $\bar{f}, \bar{g} \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$ \end{eqnarray}$
26.02.2009, 12:16	Lana***	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry...komm no ned so ganz klar... ich versuchs nomml... Mit [f] und [g] meint ich $\begin{eqnarray} \bar{f} und \bar{g}, wobei \bar{f}, \bar{g} \in \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \end{eqnarray}$
26.02.2009, 12:42	Lana***	Auf diesen Beitrag antworten »
besser gesagt $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/p \mathbb{Z} [X ] \end{eqnarray}$
26.02.2009, 12:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt verstehe ich gar nichts mehr. Ohne daß geklärt ist, worauf sich die Restklassenbildung bezieht, ist die Frage nicht beantwortbar. Wie so oft, wenn eine Frage unklar gestellt wird, dürften die Probleme im Grundsätzlichen liegen. Du solltest dich daher noch einmal damit befassen: Wenn du Restklassen bildest, mußt du immer den Ring und das Ideal des Ringes nennen, nach dem du faktorisierst. Du könntest alternativ auch die vollständige Aufgabe hier hereinstellen. Vollständig heißt: Mit jedem Komma, jeder Überstreichung, jedem Stern, und was sonst die Mathematik an hübschen Zeichen bereithält. Auch Begriffe und Bezeichnungen, die sich auf den Kontext der Vorlesung beziehen, müssen redefiniert werden.
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26.02.2009, 12:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt sehe ich gerade deinen neuen Beitrag und habe den Verdacht, daß die Überstreichung gar nicht die Restklassenbildung meint, sondern den Übergang bei den Koeffizienten des Polynoms von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_p = \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Stimmt das? Das wäre also zum Beispiel für $\begin{eqnarray} p=3 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f(x) = x^3 - 2x^2 + 8x + 14 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \bar{f}(x) = x^3 + x^2 - x - 1 \end{eqnarray}$
26.02.2009, 13:11	Lana***	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja... du hast recht... wusste nicht genau wie man das bezeichnet. Also, da ich nicht sehr kompetent bin schreib ich jetz mal die aufgabe hier rein: Also: Kreisteilungspolynome sind als Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray}$ irreduzibel. Somit ist $\begin{eqnarray} \Phi_n \end{eqnarray}$ (Das Kreisteilungspolynom) das Minimalpolynom jeder primitiven n-ten Einheitswurzel. Wobei $\begin{eqnarray} \Phi_n = f\cdot g \end{eqnarray}$ die Zerlegung in normierte Polynome ist und $\begin{eqnarray} \zeta_n \end{eqnarray}$ eine Nullstelle von f. Um nun dies zu zeigen, wird bewiesen: ist eine primitive n-te Einheitswurzel $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ Nullstelle von f, so ist für jede Primzahl $\begin{eqnarray} p\not\| n \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \zeta^p \end{eqnarray}$ Nullstelle von f.
26.02.2009, 13:16	Lana***	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja: und im Verlauf des Beweises heißt es dann: ... $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ ist also eine gemeinsame Nullstelle modulo p von f und g. Wegender linearen Kombinierbarkeit des ggT kann $\begin{eqnarray} (\bar{f}, \bar{g}) \end{eqnarray}$ nicht 1 sein. Deshalb haben $\begin{eqnarray} \bar{f} und \bar{g} \end{eqnarray}$ einen gemeinsamen Primfaktor...
26.02.2009, 13:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bezeichnen wir also diese Nullstelle als Element von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ und als Element von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_p \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \bar{\zeta} \end{eqnarray}$ . Wenn nun $\begin{eqnarray} \bar{\zeta} \end{eqnarray}$ Nullstelle von $\begin{eqnarray} \bar{f}(X) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \bar{g}(X) \end{eqnarray}$ ist, dann spalten beide Polynome den Linearfaktor $\begin{eqnarray} X - \bar{\zeta} \end{eqnarray}$ ab. Damit können $\begin{eqnarray} \bar{f}(X) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \bar{g}(X) \end{eqnarray}$ nicht teilerfremd sein.
26.02.2009, 13:36	Lana***	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das stimmt....... (Bin echt froh dass es jemanden gibt, der das alles versteht (Danke,Danke, Danke ) Aber was hat das mit der linearen Kombinierbarkeit des ggt zu tun??
26.02.2009, 14:00	Lana***	Auf diesen Beitrag antworten »
achja...noch ne Frage... Kann $\begin{eqnarray} X-\bar{\zeta} \end{eqnarray}$ nicht auch gleich 1 sein???

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