Komplexe Zahlen

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26.02.2009, 12:12

Brinki

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Komplexe Zahlen

ich komm mit folgender Gleichung nicht weiter:

z-1 = (2+4j) / (z+1)

meine Rechnung

z-1 = (2+4j) * (z-1) / (z+1)²

26.02.2009, 12:18

jester.

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Komische "Rechnung" ist das. verwirrt

Bring doch einfach mal als ersten Schritt alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf die linke Seite.

26.02.2009, 12:30

Mulomakeimer

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RE: Komplexe Zahlen
Einfach mal z=x+iy setzen und dann Real- und Imaginärteile vergleichen.
Nach simpler Rechnung findest Du z.B. z=2+i als Lösung.

26.02.2009, 12:39

mat e.

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Zitat:

Original von jester.
Bring doch einfach mal als ersten Schritt alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf die linke Seite.

ja genau!

$\begin{eqnarray*} z-1=\frac{(2+4j)}{z+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (z-1) \cdot (z+1)=2+4j \end{eqnarray*}$

3. binomische Formel

$\begin{eqnarray*} z^{2}-1^{2}=2+4j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^{2}=3+4j\Rightarrow z=\sqrt{3+4j} \end{eqnarray*}$

So denk ich mir das.

26.02.2009, 12:42

jester.

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Das stimmt natürlich, aber du solltest Brinki auf keinen Fall seine Arbeit abnehmen! böse

Lies mal das Prinzip!

Abgesehen davon heftet man sich mit $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{3+4i} \end{eqnarray*}$ zugegebenermaßen einen Klotz ans Bein, den man nicht braucht, wenn man Mulomakeimers Ansatz des "scharfen Hinsehens" weiter vefolgt.

Man muss natürlich mehr als eine Lösung angeben. Wie viele genau, @Brinki?

26.02.2009, 12:49

Brinki

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also es müssen 2 Lösungen sein z0 = 2+j z1= -2-j
die rechnung kann ich ja nachvollziehen aber wie komm ich denn von wurzel aus 3+4j auf die beiden ergebnisse

26.02.2009, 12:55

Mulomakeimer

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Nochmal: Vergleichen von Real- und Imaginärteil!

Du hast z^2=3+4i.

Dann z=x+iy setzen, ausrechnen, 2 Gleichungen (nämlich eine für Real- und eine für Imaginärteil) erhalten, auflösen, fertig!

26.02.2009, 12:55

jester.

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Das ist richtig, du musst zwei Ergebnisse angeben.

Um $\begin{eqnarray*} \sqrt{3+4i} \end{eqnarray*}$ auszurechnen, müsste man über die Polarform gehen, aber $\begin{eqnarray*} 3+4i \end{eqnarray*}$ hat keinen "schönen" Winkel. Augenzwinkern

Zweckmäßiger ist da die Methode des scharfen Hinschauens. Setze, wie vorgeschlagen, $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ , forme ein wenig um und versuche dann zu erkennen, wie $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gewählt werden müssen.

Natürlich kann man diesen Schritt auch formal durchführen, allerdings erhält man dann ein nichtlineares Gleichungssystem und das ist dann auch nicht ganz so schön.

Edit: Blödsinn. Es geht deutlich einfacher wenn man von $\begin{eqnarray*} z^{2}=3+4i \end{eqnarray*}$ ausgeht, wie Mulomakeimer vorschlägt, anstatt von der ursprünglichen Gleichung, so wie ich das kurz ausprobiert habe. Also das ganze lässt sich in der Tat einfach lösen.

26.02.2009, 13:01

Leopold

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Zitat:

Original von jester.
Um $\begin{eqnarray*} \sqrt{3+4i} \end{eqnarray*}$ auszurechnen, müsste man über die Polarform gehen, aber $\begin{eqnarray*} 3+4i \end{eqnarray*}$ hat keinen "schönen" Winkel. Augenzwinkern

Muß man nicht.

Aber schöner ist natürlich das Direkt-Erkennen.

26.02.2009, 13:06

jester.

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Cool!

Aber das ist keine gute Formel für Mathematiker, die ist ja viel zu lang, um sie sich zu merken. Teufel

26.02.2009, 13:09

Mulomakeimer

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Zitat:

Original von jester.
Cool! Freude

Aber das ist keine gute Formel für Mathematiker, die ist ja viel zu lang, um sie sich zu merken. Teufel

Mathematiker merken sich keine Formeln.

Du meintest vermutlich Physiker.

26.02.2009, 13:11

jester.

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Na ja, ein paar wichtige kann ich mir natürlich schon merken. Aber diese Lösungsformel von Leopold ist zu viel des Guten. LOL Hammer

Aber wir schweifen hier ab.

@Brinki: Konntest du inzwischen die Lösung nachvollziehen?

26.02.2009, 13:16

Leopold

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Na, dann vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x + \operatorname{i}y} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \left( \sqrt{r+x} \ \pm \ \operatorname{i} \sqrt{r - x} \right) \ \ \text{mit} \ \ r = \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

Das Vorzeichen vor dem Imaginärteil in der Klammer richtet sich nach dem Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .
Die Formel funktioniert für $\begin{eqnarray*} y \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Und für $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ braucht man sie nicht.

26.02.2009, 13:18

Brinki

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also wie ich auf die wurzel 3+4j komme leuchtet mir ja ein, aber wie ich auf die 2+j und -2-j komme versteh ich noch nicht... muss ich das jetzt wieder in die polarform bringen also wurzel aus 3²+4² und arctan (4/3)

26.02.2009, 13:21

jester.

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Nein. Ok, so funktioniert das:

$\begin{eqnarray*} z^{2}=3+4i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x+iy)^{2}=3+4i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x^{2}+2ixy-y^{2}=3+4i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^{2}-y^{2}=3 \wedge 2xy=4 \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte es deutlich sein.

Edit: Fehler behoben, danke @Leopold!

26.02.2009, 13:31

Leopold

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Zitat:

Original von jester.
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x^{2}+2iy-y^{2}=3+4i \end{eqnarray*}$

Beim gemischten Glied fehlt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

26.02.2009, 13:32

Brinki

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hmm ne so richtig will das noch nich klick machen... schag hier schon wild im papular rum wie ihr darauf kommt

26.02.2009, 13:36

jester.

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Jetzt muss ich aber mal fragen an welcher Stelle oder meinetwegen Zeile meiner letzten Ausführung es hakt.

Denn irgendwie macht es bei mir nicht Klick dazu, warum das bei dir nicht Klick macht. geschockt

26.02.2009, 13:43

Brinki

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also du hast z² = (x+iy)² gesetzt oder seh ich das falsch dann hast du mit binomischer formel aufgelöst... aber den letzten schritt versteh ich nicht

26.02.2009, 13:53

Mulomakeimer

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Eine komplexe Zahl besteht aus Real- und Imaginärteil.

Für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ hat man also stets $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Realteil und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ der Imaginärteil.

Im konkreten Fall hast Du die Gleichung

$\begin{eqnarray*} z^2=3+4i \end{eqnarray*}$ (Realteil auf der rechten Seite ist 3, Imaginärteil ist 4)

Mit $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ also:

$\begin{eqnarray*} x^2-y^2+(2xy)i=3+4i \end{eqnarray*}$

Der bereits mehrfach erwähnte Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert nun:

$\begin{eqnarray*} x^2-y^2=3 \ \ \mbox{und} \ \ 2xy=4 \end{eqnarray*}$

Und, klickt's jetzt?

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