Vektor aufgabe - Seite 2

28.02.2009, 00:15

klink1

Es ist hier leider ziemlich aufwändig mit dem Formeleditor alles aufzuschreiben.

$\begin{eqnarray*} P51=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid P51\mid =\sqrt{(-2)^{2}+ (-2)^{2} + (-7)^{2}}= \sqrt{57} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=\begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid n\mid =\sqrt{(-)^{2}+ (9)^{2} + (-5)^{2}}= \sqrt{107} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ -5 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\ -18 \\ 35 \end{pmatrix} =15 \end{eqnarray*}$

Jetzt sind es andere Werte, habe mich verrechnet.

28.02.2009, 00:32

riwe

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jetzt stimmen die werte Freude

wie groß ist nun d verwirrt

und da du nun d hast, kannst du den rest wie in der alten aufgabe erledigen.

und du denkst, dass es für uns weniger aufwendig (in meinem alter kann ich mir die alte schreibweise leisten, die gefällt mir besser) ist verwirrt

28.02.2009, 00:54

klink1

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$\begin{eqnarray*} d=3*cos\frac{15}{\sqrt{107} \sqrt{57}}=2,99 \end{eqnarray*}$

Ohne Taschenrechner hätte ich das nicht ausrechnen können.

so ist dann die ebene 2 richtig?
$\begin{eqnarray*} E2=(3*cos\frac{15}{\sqrt{107} \sqrt{57}} + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix})+\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E2=(d + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix})+\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.02.2009, 01:12

riwe

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ach gott, jetzt sehe ich es erst: was soll den hier der cosinus verwirrt

ich würde noch einmal mit den grundbegriffen der vektorrechnung anfangen

$\begin{eqnarray*} d=3\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$

mit hilfe des skalarproduktes hast du nun

$\begin{eqnarray*} cos\alpha=\frac{\overrightarrow{P_5P}_1\cdot\vec{n}}{|\overrightarrow{P_5P}_1|\cdot|\vec{n}|} \end{eqnarray*}$

daher $\begin{eqnarray*} d=3\frac{15}{\sqrt{57\cdot 107}}\approx 0.58 \end{eqnarray*}$

gute nacht unglücklich

28.02.2009, 17:49

klink1

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Zitat:

Original von riwe
ach gott, jetzt sehe ich es erst: was soll den hier der cosinus verwirrt

ich würde noch einmal mit den grundbegriffen der vektorrechnung anfangen

Nach einer zeit geht die Konzentration gegen 0 und macht die dümmsten Fehler.

hab jetzt P7-P9 ausgerechnet könnte das von denn werten richtig sein ?

$\begin{eqnarray*} E2=(\frac{45}{\sqrt{6099}} + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix})+\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P7=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} +\frac{225}{48\sqrt{6099}} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P8=\begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +\frac{225}{6\sqrt{6099}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P9=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} +\frac{225}{15\sqrt{6099}} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.02.2009, 18:00

riwe

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$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP}_9=\overrightarrow{OP}_5+\frac{3}{\sqrt{57}}\begin{pmatrix}-2 \\ -2\\ -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das entspricht nicht dem von dir berechneten wert.

aber noch einmal: wenn du immer nur irgendwelche werte reinstellst..... unglücklich

28.02.2009, 18:41

klink1

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$\begin{eqnarray*} ro=r5+d=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}+\frac{45}{\sqrt{6099}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda2=\frac{(r0-r5)*n}{r51*n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{45}{\sqrt{6099}} + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} ) * \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ -5 \end{pmatrix}=\frac{225}{\sqrt{6099}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r51*n=\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -7 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ -5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\ -18 \\ 35 \end{pmatrix}=15 \end{eqnarray*}$

28.02.2009, 21:19

riwe

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zuerst einmal: deine darstellung ist saumäßig, und ich würde dir raten, daran zu arbeiten und auch die grundregeln der vektorrechnung dir anzueignen.
und lies dir einmal alles, was bisher verbrochen wurde in ruhe durch und schau vor allem die bilderl an.

damit wir uns nicht weiter sinnlos mit diesem MÜLL quälen,
so in etwa sollte eine ordentliche lösung ausschauen.

1) ebenengleichung der platte

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{P_4P}_5=(-1,-1,-2)^T\quad{ }\overrightarrow{P_4P}_6=(1,-4-7)^T \end{eqnarray*}$

parameterform

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\5 \\ 8 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

normalvektor- bzw. koordinatenform

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} -1 \\4 \\ 7 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\-5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} )\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 9\\ -5 \end{pmatrix} =0\to x+9y-5z=9 \end{eqnarray*}$

2) berechnung der koordinaten des punktes $\begin{eqnarray*} P_9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |P_5P_9|=3\to \overrightarrow{OP}_9=\overrightarrow{OP}_5+3\cdot\frac{\overrightarrow{P_5P}_1}{|\overrightarrow{P_5P}_1|}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4\\ 6\end{pmatrix} +\frac{3}{\sqrt{57}}\cdot\begin{pmatrix} -2 \\-2 \\-7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

plattenebene:

$\begin{eqnarray*} (\vec{x}-(\begin{pmatrix} 3 \\4 \\ 6 \end{pmatrix} +\frac{3}{\sqrt{57}}\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -7\end{pmatrix} ))\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 9\\ -5 \end{pmatrix} =0\to x+9y-5z=9+\frac{45}{\sqrt{57}} \end{eqnarray*}$

abstand der beiden ebenen
methode 1: HNF

$\begin{eqnarray*} d_1(E_1,O)=-\frac{9}{\sqrt{107}}\quad{ }d_2(E_2,O)=-\frac{9+\frac{45}{\sqrt{57}}}{\sqrt{107}}\to d(E_1,E_2)=|d_1-d_2|=\frac{45}{\sqrt{6099}} \end{eqnarray*}$

methode 2 über das skalarprodukt

$\begin{eqnarray*} d=3\cdot cos\alpha \quad{ }cos\alpha=\frac{\overrightarrow{P_5P}_1\cdot\vec{n}}{|\overrightarrow{P_5P}_1|\cdot|\vec{n}|}\to d=\frac{45}{\sqrt{6099}} \end{eqnarray*}$

ich hoffe sehr, den restmüll kannst du nun selber erledigen. smile

01.03.2009, 16:38

klink1

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Wenn ich jetzt nach dieser Formel rechne komme ich auf die Ergebnisse.

$\begin{eqnarray*} |P_5P_9|=3\to \overrightarrow{OP}_9=\overrightarrow{OP}_5+3\cdot\frac{\overrightarrow{P_5P}_1}{|\overrightarrow{P_5P}_1|}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4\\ 6\end{pmatrix} +\frac{3}{\sqrt{57}}\cdot\begin{pmatrix} -2 \\-2 \\-7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |P_3P_4|=3\to \overrightarrow{OP}_8=\overrightarrow{OP}_6+3\cdot\frac{\overrightarrow{P_6P}_3}{|\overrightarrow{P_6P}_3|}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} +\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |P_4P_7|=3\to \overrightarrow{OP}_7=\overrightarrow{OP}_4+3\cdot\frac{\overrightarrow{P_4P}_2}{|\overrightarrow{P_4P}_2|}=\begin{pmatrix} 4 \\ 5\\ 8\end{pmatrix} +\frac{3}{\sqrt{66}}\cdot\begin{pmatrix} 4\\1 \\-7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich es mit dieser Formel versuche, komme ich auf andere Ergebnisse. Das hätte doch auch funktionieren müssen oder nicht ?

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP}_9==\overrightarrow{OP}_4+d\cdot\frac{|\vec{n}|}{\vec{n}\cdot\overrightarrow{P_5P}_1}}\cdot{\overrightarrow{P_5P}_1 \end{eqnarray*}$

01.03.2009, 17:01

klink1

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Hab denn Fehler selbst entdeckt, hab die ganze zeit mit der länge 3 für r59, r68 und r47 gerechnet. Dabei hat ja nur r59 die Länge 3.

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