Nicht-quadratische Matrix mit Gauß lösen

26.02.2009, 23:32	Student2009	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht-quadratische Matrix mit Gauß lösen Hallo Mitstreiter. Ich habe eine grundlegende Frage zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus. Bei quadratischen Matrizen ist es meist nicht schwer die Matrix auf Stufenform zu bringen und dann das Ergebnis abzulesen. Was mache ich aber bei Matrizen, die aus 4 Vektoren mit nur jeweils 3 Werten bestehen? Ich weiß nicht mal wie weit ich Stellen eliminieren soll, geschweige denn ein Ergebnis ablesen soll. Auf jeden Fall muss das Ergebnis ja eine unendliche Menge von Lösungen sein. Ist folgende Form grundsätzlich ausreichend um ein Ergebnis abzulesen? Oder wie sollte die Endmatrix grundsätzlich aussehen?? Alle Variablen sind $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ 0. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 &a_4 \\ 0 & b_2 & b_3 & b_4 \\ 0 & 0 & c_3 & c_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Könnt ihr weitere grundlegende Tips zum Lösen solcher Matrizen geben?? Oder ist es einfacher wenn ich eine konkrete Aufgabe poste? Ich komme hier alleine echt nicht weiter, bin am Verzweifeln... Danke euch!!
27.02.2009, 00:12	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht-quadratische Matrix mit Gauß lösen?? Hi Student08/15, Die Dreiecksform ist das beste, was Du erreichen kannst. Jetzt wählt man eine der Variablen - pragmatischerweise $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ - als freien Parameter, d.h $\begin{eqnarray} x_4=r \end{eqnarray}$ und stellt die Lösungsmenge dann in Abhängigkeit dieses Parameters dar. Also: $\begin{eqnarray} x_4=r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=\frac{1}{c_3}(d_3-c_4r) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=\frac{1}{b_2}(d_2-b_4r-b_3x_3) \end{eqnarray}$ u.s.w. (Die $\begin{eqnarray} d_i \end{eqnarray}$ sind hier die Einträge auf der rechten Seite des LGS: Ax=d) Gruß, Reksilat.
27.02.2009, 00:30	Student2009	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir für deine schnelle Antwort. Ich verstehe leider nicht wie du auf diese Lösungen kommst. Kannst du es mir vielleicht an einem konkreten Beispiel demonstrieren oder mit einfacheren Worten erklären? Die Aufgabe die mich auf dieses Problem gestoßen hat führte zu folgender Matrix (nach deiner Ausführung denke ich ja, reicht dies an Umformung): $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 3 &\| 1\\ 0 & 4 & 4 & 3 &\| 1 \\ 0 & 0 & 12 & -3 &\| 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und jetzt? Noch weiter Variablen eliminieren? Oder wie lese ich die Menge der Lösungen nun ab? Ich danke dir/euch für jeden Tipp und eure Zeit!!!
27.02.2009, 04:55	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das macht man doch schon in der Schule. Setze x_4 = t und berechne die Variablen x_1, x_2 und x_3 in Abhängigkeit von t. x_4 haste ja schon, nämlich x_4 = t.
27.02.2009, 10:26	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal ausführlich: Die letzte Zeile in Deinem LGS steht für $\begin{eqnarray} 12x_3-3x_4=5 \end{eqnarray}$ Nun ist $\begin{eqnarray} x_4=t \end{eqnarray}$ und wir stellen um: $\begin{eqnarray} x_3=\frac{1}{12}(5+3t) \end{eqnarray}$ Du kannst auch einfach im LGS das $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ auf die andere Seite holen, durch $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ersetzen und dann folgendes LGS lösen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & \| 1-3t\\ 0 & 4 & 4 & \| 1-3t \\ 0 & 0 & 12 & \| 5+3t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
02.03.2009, 16:16	Student2009	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Reksilat. Ich habe die Musterlösungen nun bekommen und bin verunsichert. Stimmt deine Lösung wirklich mit der folgenden überein? Ich sehe das nicht, aber vielleicht täusche ich mich ja?? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ \frac {-1}{2} \\ \frac{3}{4} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + < $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ > Danke!
Anzeige

02.03.2009, 17:43	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe eigentlich gar keine Lösung angegeben Musterlösung kurz umgeschrieben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ \frac {-1}{2} \\ \frac{3}{4} \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und man sieht leicht, dass dies nicht die Lösung zu der von Dir angegebenen Dreiecksform ist. Ergo: Die Musterlösung oder Deine Dreiecksform ist falsch.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »