Potenzreihen: Vorgehen und Entwicklung

27.02.2009, 11:36

sChUhBiDu

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Potenzreihen: Vorgehen und Entwicklung

Hallo,

im Rahmen meiner Prüfungsvorbereitung bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:

Entwickeln Sie die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ in eine Reihe nach Potenzen von $\begin{eqnarray*} x+2 \end{eqnarray*}$ . Wo konvergiert die Reihe?

Mein Problem ist nun zunächst, da das relativ lange her ist, dass ich sowas zuletzt berechnet habe, die allgemeine Herangehensweise bei solchen Aufgaben. Liege ich da richtig, dass ich die Funktion nach einer bekannten Funktion für eine Potenzreihe umformen muss? Dann wäre hier diese Fkt ja der geometrischen Reihe ähnlich.
geom. Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\infty} x^i = \frac{1}{1-x},\ \ \forall\ |x| \le 1 \end{eqnarray*}$

Die Zweite Sache ist dann das $\begin{eqnarray*} x+2 \end{eqnarray*}$ . Wie baue ich das danach dann ein?

Edit:
Aus der Aussage "nach Potenzen von x+2" entnehme ich, dass ich eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt -2 entwickeln muss.
$\begin{eqnarray*} \longrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot (x - x_0)^n \end{eqnarray*}$

Das weitere vorgehen ist mir aber immer noch nicht klar.

27.02.2009, 11:49

tigerbine

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RE: Potenzreihen: Vorgehen und Entwicklung
Es steht doch im Aufgabentext, was zu tun ist.

Zitat:

nach Potenzen von $\begin{eqnarray*} x+2 \end{eqnarray*}$

Also mich erinnert das doch sofort an die Taylorreihe, Entwicklungspunkt a=-2. Die Potenzen sind schnell hingeschrieben. Was du untersuchen musst, sind die Ableitungen.

Die Taylorreihe ist eine Potenzreihe, also schau dort nach, wie man den Konvergenzradius bestimmt.

Wink

Wink

27.02.2009, 11:53

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@sChUhBiDu

Du kannst natürlich mutmaßen, dass es mit einer Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} a \sum_{i=0}^{\infty} (b(x+2))^i = \frac{a}{1-b(x+2)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x+2| < \frac{1}{|b|} \end{eqnarray*}$

klappen könnte. In dem Fall müsste dann

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{1-b(x+2)} = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} |x+2| < \frac{1}{|b|} \end{eqnarray*}$

gelten. Ob es solche $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ gibt (Koeffizientenvergleich!), solltest du jetzt selbst in Erfahrung bringen können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.02.2009, 12:20

sChUhBiDu

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Also gut, erst mal ableiten:
$\begin{eqnarray*} f = \frac{1}{x}\\ f' = -\frac{1}{x^2}\\ f'' = \frac{1*2}{x^3}\\ f''' = -\frac{1*2*3}{x^4}\\ f'''' = \frac{1*2*3*4}{x^5}\\ \end{eqnarray*}$

Nun stur in diese Formel einsetzen:
$\begin{eqnarray*} P_f(x) &=f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \dotsb + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + \dotsb\\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \end{eqnarray*}$

erhalte ich somit:
$\begin{eqnarray*} P_f(x) &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\frac{(-1) n!}{2^{n+1}}}{n!} (x+2)^n \end{eqnarray*}$

Das " - " bei der -2 lässt ja beim einsetzen die ungeraden Glieder ebenfalls negativ werden, daher immer $\begin{eqnarray*} (-1) \cdot \end{eqnarray*}$ .

Ist das die gesuchte Potenzreihe?

27.02.2009, 12:44

tigerbine

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Da kann man doch noch was kürzen...

27.02.2009, 13:02

sChUhBiDu

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och man

unglücklich

jaaa
$\begin{eqnarray*} \sum -\frac{1}{2^{n+1}} \cdot (x+2)^n \end{eqnarray*}$ ...

So dann müste ja $\begin{eqnarray*} a_n = -\frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ sein und der Konvergenzradius demnach:

$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right| = \frac{-\frac{1}{2^{n+1}}}{-\frac{1}{2^{n+2}}} = 2 \end{eqnarray*}$

Wie stehts nun mit dem Bereich aus in dem die Reihe konvergiert, sprich dem zweiten Teil der Aufgabe.

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27.02.2009, 13:07

tigerbine

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Warum hast du r berechnet?

27.02.2009, 13:15

sChUhBiDu

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Ich habe den Konvergenzradius bestimmt, um sagen zu können für welche x die Reihe konvergiert oder verstehe ich die Aufgabenstellung da falsch
...Wo konvergiert die Reihe? ?

27.02.2009, 13:25

tigerbine

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Nein, du verstehst das schon richtig. Nur, wenn du r hat, warum fragst du dann

Zitat:

Wie stehts nun mit dem Bereich aus in dem die Reihe konvergiert, sprich dem zweiten Teil der Aufgabe.

Wo hängt es da?

27.02.2009, 13:36

sChUhBiDu

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ich wollte nun einfach nur wissen, ob das relevant für die Lösung der Frage ist. Dann müsste x nun
$\begin{eqnarray*} |x+2| \leq 2 \Rightarrow -4 \leq x \leq 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Tutti kompletti jetzt? :t

27.02.2009, 13:40

tigerbine

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Würde den Betrag nicht auflösen, außer es steht da, dass x aus den reellen Zahlen stammt.

Was bedeuten deine Ergebnisse für den Weg von Arthur Dent? Findest du im Konvergenzfall eine geschlossene Darstellung?

27.02.2009, 13:44

Himbeer-Toni

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Zitat:

Original von sChUhBiDu
ich wollte nun einfach nur wissen, ob das relevant für die Lösung der Frage ist. Dann müsste x nun
$\begin{eqnarray*} |x+2| \leq 2 \Rightarrow -4 \leq x \leq 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Tutti kompletti jetzt? :t

Fast!
Für die Randwerte liefert der Konvergenzradius keine allgemeine Aussage.
Die Reihe konvergiert also für $\begin{eqnarray*} |x+2|<2 \end{eqnarray*}$ .
Die Aussage für die Randwerte (-4 und 0) kannst Du durch Einsetzen aber leicht sehen.

27.02.2009, 14:00

sChUhBiDu

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@ Toni (hoffentlich nicht der mit den schlimmen Wörtern aus Youtube :P nicht böse gemeint!!)
Ich weiß nicht so ganz was du meinst. Aber klar, da die Potenzreihe ja $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ abbildet, darf man 0 natürlich nicht einsetzen.

@Tigerbine
Ich kann leider mit dem Hinweis nichts anfangen und der Ansatz von Dent ist mir leider ebenfalls schleierhaft.
Dennoch würde ich mich über einen weiteren Tipp oder gar die Lösung deiner Anspielung freuen, wobei ich jetzt schon genau weiß, dass wieder eine wage Andeutung folgen wird Big Laugh

Big Laugh

27.02.2009, 14:13

AD

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Zitat:

Original von sChUhBiDu
und der Ansatz von Dent ist mir leider ebenfalls schleierhaft.

Sehr merkwürdig, weil ich dir eine Brücke gerade zu deiner eigenen Idee

Zitat:

Original von sChUhBiDu
Dann wäre hier diese Fkt ja der geometrischen Reihe ähnlich.
geom. Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\infty} x^i = \frac{1}{1-x},\ \ \forall\ |x| \le 1 \end{eqnarray*}$

bauen wollte. War aber total für die Katz, was aber auch nicht weiter schlimm ist, du hast ja einen anderen Weg gefunden, der überdies allgemeiner (wenn auch nicht so kurz) ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.02.2009, 14:14

tigerbine

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Lies das Kleingedruckte im Wiki Link. Das meint der Toni. Die Ränder müssen immer getrennt untersucht werden. Das mit der 0 uist hier Zufall.

Meine Anspielung will sagen, mit Taylor ist die Aufgabe fertig. Arthur ist auf deinen Alternativweg eingegangen. Das könntest du dir zum Spass ja mal überlegen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.02.2009, 14:19

sChUhBiDu

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$\begin{eqnarray*} \Huge{Spass...} \end{eqnarray*}$ Big Laugh

Big Laugh

Spass machts nur, wenn man die Aufgaben gelöst hat xD

27.02.2009, 14:32

AD

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Ich kann den Alternativweg ja noch fix angeben: $\begin{eqnarray*} \frac{a}{1-b(x+2)} = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist umgestellt

$\begin{eqnarray*} ax = 1-b(x+2) \end{eqnarray*}$ , d.h., $\begin{eqnarray*} (a+b)x + (2b-1) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Koeffizientenvergleich ergibt erst $\begin{eqnarray*} b=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und daraufhin $\begin{eqnarray*} a = -b = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und damit die Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} = -\frac{1}{2} \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \left( \frac{x+2}{2} \right)^i = \sum_{i=0}^{\infty} \left( -\frac{1}{2^{i+1}}\right) (x+2)^i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x+2| < \frac{1}{|b|} = 2 \end{eqnarray*}$ .

Aber warum einfach, wenn's kompliziert geht. Big Laugh

Big Laugh

27.02.2009, 15:35

sChUhBiDu

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OK, klingt einleuchtend nur wie bist du auf $\begin{eqnarray*} a \sum_{i}^\infty(b(x+2))^i \end{eqnarray*}$ gekommen. Speziell die a und b wären mir so nicht in den sinn gekommen. Aber sehr elegant. Merk ich mir mal, wenn ichs dann noch verstehe.

27.02.2009, 15:37

AD

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Zitat:

Original von sChUhBiDu
OK, klingt einleuchtend nur wie bist du auf $\begin{eqnarray*} a \sum_{i}^\infty(b(x+2))^i \end{eqnarray*}$ gekommen.

Es sollte

1. eine geometrische Reihe, und

2. eine Potenzreihe in (x+2) sein.

Welchen Ansatz hättest du denn dann gewählt?

28.02.2009, 12:14

sChUhBiDu

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Kannst du mir bitte mal erklären wie du darauf gekommen bist die Faktoren a und b in die Reihe einzubauen? Die anschließenden Rechnungen sind mir klar, nur nicht diese Faktoren.

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