Taylorreihe (3)

27.02.2009, 16:14

Sabinee

Taylorreihe (3)

Bestimmen sie die Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} f(x)=x\cdot e^x \end{eqnarray*}$ .

Ich bin wiefolgt an die Aufgabe rangegangen.

Es ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=(1+x)\cdot e^x \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt: $\begin{eqnarray*} f(x)-f(0)=\int_{0}^{x}~(1+t)\cdot e^x~dx \end{eqnarray*}$

Weiterhin gilt: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x}~(1+t)\cdot e^t~dt=\int_{0}^{x}~(1+t)\cdot \sum_{n=1}^\infty~\frac{t^n}{n!}=\sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}~t^n+t^{n+1}~dt=\sum_{n=1}^\infty~\left(\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+\frac{x^{n+2}}{(n)!(n+2)}\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt wollte ich wissen inwiefern das richtig ist, mein Ansatz der richtige ist oder wo Fehler sind.

Danke

27.02.2009, 16:35

Himbeer-Toni

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RE: Taylorreihe (3)
Wenn $\begin{eqnarray*} e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ bekannt ist, dann würde ich erwägen damit anzusetzen...

Du kannst natürlich auch leicht zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} f(x):=xe^x \end{eqnarray*}$ die n-te Ableitung $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=(x+n)e^x \end{eqnarray*}$ lautet. Damit schreibt sich die Taylor-Reihe dann auch flott hin.

27.02.2009, 16:52

Sabinee

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RE: Taylorreihe (3)
$\begin{eqnarray*} f^(n)(x)=(x+n)e^x \end{eqnarray*}$ würde ich mittels Induktion zeigen.

Der Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist klar.

Nun müssen wir noch den Schritt von $\begin{eqnarray*} (n-1)\mapsto n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f^{(n-1)}(x))'=((x+n-1)e^x)'=(x+n-1)e^x+e^x=(x+n)e^x=f^{(n)}(x) \end{eqnarray*}$

Aber wie schreibe ich denn die Taylorreihe davon jetzt hin?

27.02.2009, 16:55

Himbeer-Toni

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RE: Taylorreihe (3)
So, wie es z. B. hier: de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe erklärt wird. (Mit Entwicklungszentrum a=0)

27.02.2009, 17:36

Sabinee

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RE: Taylorreihe (3)
Es ist: $\begin{eqnarray*} T_nf(x)=\sum_{n=0}^\infty~\frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n \end{eqnarray*}$

Ist meine Taylorreihe dann:

$\begin{eqnarray*} T_nf(x)=\sum_{n=0}^\infty~\frac{n\cdot x^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty~\frac{ x^n}{(n-1)!}\ \end{eqnarray*}$

27.02.2009, 19:55

Himbeer-Toni

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RE: Taylorreihe (3)

Zitat:

Original von Sabinee
Es ist: $\begin{eqnarray*} T_nf(x)=\sum_{n=0}^\infty~\frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n \end{eqnarray*}$

Ist meine Taylorreihe dann:

$\begin{eqnarray*} T_nf(x)=\sum_{n=0}^\infty~\frac{n\cdot x^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty~\frac{ x^n}{(n-1)!}\ \end{eqnarray*}$

Ja, genau!

Und wenn Du ein bisschen weiter umformst:

$\begin{eqnarray*} T~f(x) = \sum_{n=0}^\infty~\frac{n \cdot x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty~\frac{ x^{n+1}}{n!} = x \cdot \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} = x \cdot e^x \end{eqnarray*}$

Und genau deshalb der am Anfang erwähnte Hinweis.

27.02.2009, 22:00

Sabinee

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RE: Taylorreihe (3)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{n \cdot x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty~\frac{ x^{n+1}}{n!} \end{eqnarray*}$

Alles super, nur diese Gleichheit verstehe ich nicht.
Wieso ist die linke Reihe gleich der rechten Reihe. Entweder ich hab komplett ein Blackout oder ich wusste es noch nie verwirrt

27.02.2009, 22:04

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Sabinee
$\begin{eqnarray*} T_nf(x)=\sum_{n=0}^\infty~\frac{n\cdot x^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty~\frac{ x^n}{(n-1)!}\ \end{eqnarray*}$

Das ist falsch, rechts muss die Summe bei $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ starten, denn $\begin{eqnarray*} (-1)! \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert. Das ist ja auch klar: Links fällt es weg, da dort für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ ein Term der Form $\begin{eqnarray*} 0\cdot\ldots \end{eqnarray*}$ steht.

Und zur jetzigen Frage: Schreib dir doch die beiden Summen einfach mal hin, das ist nichts anderes als eine Indexverschiebung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{n\cdot x^n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{x^n}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}~\frac{x^{n+1}}{n!} \end{eqnarray*}$ .

27.02.2009, 22:08

Sabinee

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Jetzt ist es klar, ist nur noch ne Indexverschiebung.
Aber vorher hats ja nicht gestimmt. Deswegen habe ich gefragt.

27.02.2009, 22:19

Mathespezialschüler

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Was hat vorher nicht gestimmt?

27.02.2009, 22:30

Sabinee

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RE: Taylorreihe (3)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{n \cdot x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty~\frac{ x^{n+1}}{n!} \end{eqnarray*}$

Das kann doch so nicht stimmen, oder nicht?

27.02.2009, 22:32

Sabinee

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RE: Taylorreihe (3)
Obwohl, wenn man die ganzen Schritte sofort macht, stimmt das schon.
Mein Fehler

02.03.2009, 10:41

Himbeer-Toni

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RE: Taylorreihe (3)

Zitat:

Original von Sabinee

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{n \cdot x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty~\frac{ x^{n+1}}{n!} \end{eqnarray*}$

Das kann doch so nicht stimmen, oder nicht?

Ja!

Deshalb sicherheitshalber mal gaaaanz ausführlich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{n \cdot x^n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n \cdot x^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1) \cdot x^{n+1}}{(n+1)!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{ x^{n+1}}{n!} \end{eqnarray*}$

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