Parabelschar schneidet Gerade rechtwinklig

27.02.2009, 18:04

Blitzableiter

Parabelschar schneidet Gerade rechtwinklig

Huhu, ich bins wieder.

Ich komme bei einer Aufgabe partout nicht weiter. Die Funktion f(x)=ax3 soll
g(x)=1/3x + 3/4 rechtwinklig schneiden.

Im Schnittpunkt muss die Steigung von f(x) gleich drei sein. Aber wie kann ich den Schnittpunkt allgemein bestimmen ?

27.02.2009, 18:13

tigerbine

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RE: Parabelschar schneidet Gerade rechtwinklig
Eben in Abhängigkeit von a. Augenzwinkern

27.02.2009, 18:18

Blitzableiter

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Aber genau da liegt mein Problem, ich komm einfach nicht weiter.

0= ax3-(-1/3x+3/4) ... das bekomm ich noch hin aber dann ....

27.02.2009, 18:22

tigerbine

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Benutz mal latex....

Und tu dann so, als wäre a eine Zahl und lös nach x auf.

27.02.2009, 18:29

Blitzableiter

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Kann ich nicht ... deshalb bitte ich ja um Hilfe

27.02.2009, 18:32

tigerbine

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Mach mal für a=1. Augenzwinkern

27.02.2009, 18:44

Blitzableiter

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kannst du mir vielleicht mal den Rechenweg niederschreiben .. ich bekomm partout nicht das x³ aus der Funktion.

Bitte unglücklich

Ich konnte Mathe, Kurvendiskussion alles .. nur heute gabs die Übungsaufgaben und ich krieg 1 von 5 hin unglücklich

27.02.2009, 18:51

tigerbine

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Lies unser Prinzip, und du weißt, dass ich es dir nicht vorrechne. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f(x)=a\cdot x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{3}x + \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Sei a=1.

Was muss denn gelten, damit sich die beiden Funktionen rechtwinklig schneiden?

Zitat:

Im Schnittpunkt muss die Steigung von f(x) gleich drei sein.

Da würde ich nochmal drüber nachdenken. Das stimmt nicht.

27.02.2009, 19:03

Blitzableiter

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Sondern ?

Damit die Senkrecht zueinander stehen muss die Tangentensteigung im Schnittpunkt doch der Kehrwert der Steigung von g(x) sein. Oder etwa nicht ?

Ich will es ja auch nicht komplett vorgerechnet bekommen sondern nur das Prinzip erklärt bekommen

EDIT: Oh ... - 3 :P

27.02.2009, 19:06

tigerbine

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Das mit dem Kehrwert stimmt so eben nicht. Überleg dir das mal an der Geraden f(x)=x.

27.02.2009, 19:15

riwe

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die steigung der tangente sollte $\begin{eqnarray*} m=-3 \end{eqnarray*}$ sein smile

27.02.2009, 19:32

tigerbine

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Edits werden nicht in der "neu" liste angezeigt. Somit kann es dann was dauern... Augenzwinkern

Es muss dann also im Schnittpunkt gelten:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3ax^2 = -3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = -\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm \sqrt{-\frac{1}{a}} \end{eqnarray*}$

Dabei sollte klar sein, dass a<0 gelten muss. Nun setzten wir ein

$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \cdot (\sqrt{-\frac{1}{a}})^3=\frac{1}{3} \cdot \sqrt{-\frac{1}{a}} + \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \cdot \frac{1}{a} \cdot \sqrt{-\frac{1}{a}}=\frac{1}{3} \cdot \sqrt{-\frac{1}{a}} + \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-\frac{1}{a}}=\frac{1}{3} \cdot \sqrt{-\frac{1}{a}} + \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Variante zwei nun du. Hier ist es nicht so geschickt, wie sonst, über den Schnittpunkt zu gehen. Denn den bekommt man, will man nicht Cardano anwenden, nur näherungsweise.

27.02.2009, 19:42

riwe

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entschuldige, wenn ich leise widerspreche.
es ginge auch einfach über den schnittpunkt

im schnittpunkt gilt

$\begin{eqnarray*} y_s^\prime=a\cdot x_s^2=-1 \end{eqnarray*}$

und damit hat man

$\begin{eqnarray*} y_s=\frac{x_s}{3}+\frac{3}{4}=a\cdot x_s^3=(a\cdot x_s^2)\cdot x_s =-x_s \end{eqnarray*}$

woraus sich leicht die koordinaten von S und a berechnen lassen.

27.02.2009, 19:45

Blitzableiter

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Vielen Dank !

Auch wenn ichs in die andere Richtung aufgelöst habe, ist deutlich einfacher smile

27.02.2009, 19:50

tigerbine

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Das sehe ich nicht direkt als Widerspruch. Denn du nutzt auch die Information der Ableitung eingesetzt in die Schnittpunktgleichung. Augenzwinkern

Sonst kann man ja auch erst den Schnittpunkt allgemein bestimmen und ihn dann in die Ableitungsbedingung einsetzten. Das meinte ich mit dem anderen Weg.

LG Wink

27.02.2009, 20:07

riwe

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Zitat:

Original von tigerbine
Das sehe ich nicht direkt als Widerspruch. Denn du nutzt auch die Information der Ableitung eingesetzt in die Schnittpunktgleichung. Augenzwinkern

Sonst kann man ja auch erst den Schnittpunkt allgemein bestimmen und ihn dann in die Ableitungsbedingung einsetzten. Das meinte ich mit dem anderen Weg.

LG Wink

das habe ich auch nicht als widerspruch gemeint
sondern (vielleicht) als einfacheren weg

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