Quadratische Gleichung lösen

27.02.2009, 21:51

hannes2606

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Quadratische Gleichung lösen

Hallo zusammen,

habe folgende Aufgabe die ich Lösen muss die mir etwas Kopfzerbrechen bereitet, vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen:

Bestimme die Lösung der folgenden quadratischen Gleichung

2x (a² + ab) - ab² = 2a²b + ax²

Wäre nett wenn mir jemand den Rechenvorgang schildern könnte.

LG

hannes

27.02.2009, 23:43

Gualtiero

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RE: Quadratische Gleichung lösen
Hallo,
ich nehme an, die Gleichung soll nach x aufgelöst werden. Da kannst Du ja z.B. das pq-Verfahren anwenden. Da ist bei mir eine schöne Lösung rausgekommen.

Gualtiero

28.02.2009, 10:49

hannes2606

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RE: Quadratische Gleichung lösen

Zitat:

Original von Gualtiero
Hallo,
ich nehme an, die Gleichung soll nach x aufgelöst werden. Da kannst Du ja z.B. das pq-Verfahren anwenden. Da ist bei mir eine schöne Lösung rausgekommen.

Gualtiero

Könntest du mir bitte mal den Rechenvorgang näher schildern?

gruß

johannes

28.02.2009, 12:19

Gualtiero

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RE: Quadratische Gleichung lösen
Hattest Du das pq-Verfahren schon in der Schule? Wenn Du gar keine Ahnung davon hast, wird es hier schwer möglich sein, es Dir zu erkären, denn Mathelehrer bin ich keiner.
Also die allgemeinste Form einer quadratischen Gleichung könnte man so festhalten.

$\begin{eqnarray*} a*x^2 + p*x + q = 0 \end{eqnarray*}$

a, p und q sind feste Werte, die für x die Lösungen bestimmen: zwei, eine oder keine.
Nach diesem Schema musst Du Deine Gleichung einmal anordnen.

Kannst Du damit was anfangen?

Melde mich am frühen Nachmittag wieder.

Ciao
Gualtiero

28.02.2009, 13:34

hannes2606

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RE: Quadratische Gleichung lösen
Ja klar dass hat ich schon.

Nur dass mit der Anordnung ist mein Problem...

es sind ja mehrere parameter mit ² vorhanden.

gruß

johannes

28.02.2009, 14:29

Gualtiero

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RE: Quadratische Gleichung lösen
Gut. Also wir gehen davon aus, dass wir nach x auflösen. Dann sind a und b einfach allgemeine Zahlen, mit denen man ganz normal rechnen kann. Wenn sie in der 2. Potenz vorkommen, stört das nicht.
Forme die Gleichung um nach dem besagten Schema, denn Du musst es ja können. Ganz links das quadratische x, dann das lineare x und zuletzt die absoluten Werte.
Ich helfe nur.

Gualtiero

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28.02.2009, 14:30

sulo

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RE: Quadratische Gleichung lösen
Ich hoffe, Gualtiero ist nicht böse, wenn ich mich hier melde, aber mein Vorschlag ist, bevor man an die pq-Formel denkt, erst mal die Gleichung so weit wie möglich zu berechnen, d.h. Klammer auflösen, vereinfachen usw. und denn mal schaun, was man überhaupt stehen hat.
Anschließend sucht man sich ein geeignetes Lösungsverfahren aus.

Also: Wie weit kann man die Gleichung vereinfachen?

LG sulo

28.02.2009, 15:38

hannes2606

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RE: Quadratische Gleichung lösen
2x (a² + ab) - ab² = 2a²b + ax²

2ax² + 2abx - ab² = 2a²b + ax² /- ax² /- 2a²b

ax² + 2abx - ab² - 2a²b = 0

ax² + 2abx - ab (b - 2a) = 0

so weiter komm ich mit dem zusammenfassen nicht mehr

x1,2 = -2ab +/- Wurzel aus (2ab)² - 4a * (ab * (b -2a) : 2a

des kann doch net stimmen ?

28.02.2009, 15:44

sulo

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RE: Quadratische Gleichung lösen

Zitat:

x1,2 = -2ab +/- Wurzel aus (2ab)² - 4a * (ab * (b -2a) : 2a

Nee, das ist Kuddelmuddel...
Du solltest nicht auf die pq-Formel fixiert sein, die brauchst Du nämlich hier gar nicht... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Fangen wir hier noch mal an:

Zitat:

2ax² + 2abx - ab² = 2a²b + ax²

Hier würde ich erst mal einen gemeinsamen Faktor rauskürzen...

Und denn mal ein bisschen rumprobieren, wie man vielleicht faktorisieren kann ...

28.02.2009, 15:55

Gualtiero

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RE: Quadratische Gleichung lösen
Das Ausmultiplizieren ist unnötig, und irgendwie hast Du einen Vorzeichenfehler hineingebracht.
Wo die 2ax² herkommen, ist mir auch unklar.

$\begin{eqnarray*} 2\cdot x\cdot (a^2+a\cdot b)-a\cdot x^2-a\cdot b^2-2\cdot a^2\cdot b=0 \end{eqnarray*}$

Du kannst die ganze Gleichung durch a kürzen und bekommst dann für
p: -2*(a+b) und für
q: b^2 + 2*a*b

Gualtiero

28.02.2009, 16:01

hannes2606

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RE: Quadratische Gleichung lösen
ach ja.. stimmt .. übersehen... a kürzen.. dann schaut des ganze schon mal besser aus...

2ax² + 2abx - ab² = 2a²b + ax² /:a

2x² + 2bx - b² = 2ab + x² / - 2ab - x²

x² + 2bx - b² - 2ab = 0

wie jetzt weiter vorgehen?

28.02.2009, 16:09

Gualtiero

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RE: Quadratische Gleichung lösen
Lies nochmal meinen letzten Beitrag. Du hast falsch multipliziert.
Das pq-Verfahren geht auf jeden Fall, wenn sulo noch eine einfachere Methode hat, kann sie sie ja vorstellen.

Gualtiero

28.02.2009, 16:16

sulo

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RE: Quadratische Gleichung lösen
@ Gualtiero
Ich kann gerne zeigen, wie ich gerechnet habe, aber erst sollte hannes2606 die Lösungen herausbekommen haben...

LG sulo Wink

Wink

28.02.2009, 23:44

hannes2606

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RE: Quadratische Gleichung lösen
2x (a² + ab) - ab² = 2a²b + ax² /:a /-2a²b / -ax²

2x (a + b) - b² - 2ab - x² = 0

geordnet:

-x² + 2x (a+b) - b² -2ab

hab des mal versucht mit der pq formel zu rechnen.. aber ich komm da net weiter...

bitte helft mir doch mal auf die sprünge...

wär lieb von euch..

danke und gruß

hannes

01.03.2009, 00:01

Jacques

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RE: Quadratische Gleichung lösen

Zitat:

Original von hannes2606

-x² + 2x (a+b) - b² -2ab

Da fehlt natürlich noch = 0 am Ende, denn die Gleichung wird ja nicht plötzlich zu einem Term.

Um die pq-Formel anwenden zu können, musst Du die Gleichung zuerst in die Normalform

$\begin{eqnarray*} x^2 + px + q = 0 \end{eqnarray*}$

bringen. Multipliziere sie einfach mit -1. Was ist dann p, was ist q?

01.03.2009, 09:58

Gualtiero

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RE: Quadratische Gleichung lösen
@hannes2606,
liest Du eigentlich meine Beiträge?

Zitat:

Original von Gualtiero
Du kannst die ganze Gleichung durch a kürzen und bekommst dann für
p: -2*(a+b) und für
q: b^2 + 2*a*b

Gualtiero

01.03.2009, 09:59

hannes2606

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RE: Quadratische Gleichung lösen
- x² + 2x (a+b) - b² - 2ab = 0 /*(-1)

x² - 2x (a+b) + b (b + 2a) = 0

p wäre dann -2a -2b

q wäre dann b² + 2ab

richtig?

01.03.2009, 10:01

hannes2606

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RE: Quadratische Gleichung lösen

Zitat:

Original von Gualtiero
@hannes2606,
liest Du eigentlich meine Beiträge?

Zitat:

Original von Gualtiero
Du kannst die ganze Gleichung durch a kürzen und bekommst dann für
p: -2*(a+b) und für
q: b^2 + 2*a*b

Gualtiero

jaa natürlich les ich deine beiträge.. bloß ich kommt am anfang damit nix anfangen... sorry

01.03.2009, 10:04

Gualtiero

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RE: Quadratische Gleichung lösen
q ist richtig, p ist nicht falsch, aber das Ausmultiplizieren ist unnötig. Nimm den Wert, den ich notiert habe, damit kannst nach der bekannten pq-Formel rechnen.

Gualtiero

01.03.2009, 10:17

hannes2606

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RE: Quadratische Gleichung lösen
ok.. dann mach ich mal über die formel

$\begin{eqnarray*} x1,2 = - p/2 \pm \sqrt{(p/2)² - q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1,2 = 2 (a+b)/2 \pm \sqrt{(-2 (a+b)/2)² - b²+2ab} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1,2 = a + b \pm \sqrt{a² + b² - b² + 2ab} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1,2 = a + b \pm \sqrt{a² + 2ab} \end{eqnarray*}$

stimmt des soweit?

aber aus 2ab a Wurzel ziehen is doch Blödsinn oda?

danke für eure hilfe!

01.03.2009, 10:20

hannes2606

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RE: Quadratische Gleichung lösen
$\begin{eqnarray*} x1,2 = a + b \pm \sqrt{a² + 2ab} /² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1,2 = a² + b² \pm \sqrt{a^4 + 2a² + 2b²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1,2 = a² + b² \pm a² + 2a + 2b \end{eqnarray*}$

so vielleicht?

01.03.2009, 10:31

Gualtiero

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RE: Quadratische Gleichung lösen
Warte, Du hast Dich verrechnet.

$\begin{eqnarray*} -(p/2) = (-2)*(a+b) * (-0.5) = (a+b) \end{eqnarray*}$

Der Ausdruck unter der Wurzel ist dann:

$\begin{eqnarray*} a^2 + 2\cdot a\cdot b+b^2 - (b^2+2\cdot a\cdot b) \end{eqnarray*}$

Das kannst Du jetzt vereinfachen, es bleibt nur a^2 übrig.
Genauer schauen und nicht so hudeln, so entstehen nur unnötige Fehler.

Gualtiero

01.03.2009, 10:42

hannes2606

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RE: Quadratische Gleichung lösen

Zitat:

Original von Gualtiero
Warte, Du hast Dich verrechnet.

$\begin{eqnarray*} -(p/2) = (-2)*(a+b) * (-0.5) = (a+b) \end{eqnarray*}$

Der Ausdruck unter der Wurzel ist dann:

$\begin{eqnarray*} a^2 + 2\cdot a\cdot b+b^2 - (b^2+2\cdot a\cdot b) \end{eqnarray*}$

Das kannst Du jetzt vereinfachen, es bleibt nur a^2 übrig.
Genauer schauen und nicht so hudeln, so entstehen nur unnötige Fehler.

Gualtiero

hm... da versteh ich aber dann net wo du des zweite "-" herkriegst

p = -2(a+b)

in (p/2)² einsetzen

((-2a -2b) / 2 )²

(-a - b) * (-a - b)

a² + ab +ab + b²

a² + 2ab + b²

so stimmts ja oder?

des heißt zum schluss steht dann da

x1,2 = a + b +/- a

x1 = 2a + b

x2 = b

richtig?

01.03.2009, 10:47

Daniel45b

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$\begin{eqnarray*} x_{1,2} \;=\; - \frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2 - q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 \,\, \overbrace{- (2a + 2b)}^{p} \cdot \,\, x \,\, \overbrace{ + 2ab + b^2}^{q} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} \;=\; - \frac{- (2a + 2b)}2\pm\sqrt{\left(\frac{- (2a + 2b)}2\right)^2 - (2ab + b^2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2a + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = b \end{eqnarray*}$

Freude

Freude

Oder:
$\begin{eqnarray*} x_1 = a + b +|a| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = a+ b - |a| \end{eqnarray*}$

01.03.2009, 10:57

Gualtiero

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RE: Quadratische Gleichung lösen
@hannes2606
Jo, stimmt.

Gualtiero

01.03.2009, 11:00

hannes2606

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RE: Quadratische Gleichung lösen
@ Gualtiero

danke für deine hilfe..

so gleichungen mit parametern (a,b) find ich viel schwerer als ganz normale zahlenwertgleichungen ...

aber es wichtigste is doch anscheinend am anfang gleich zu schauen wo ma was wegkürzen kann damit die aufgabe übersichtlicher wird..

kennst du dich mit vektoren auch aus?

dann schau doch mal bitte in meinen anderen Thread "Vektorenaufgabe"

dankeschön und schönen Sonntag

hannes

01.03.2009, 12:51

....

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RE: Quadratische Gleichung lösen

Zitat:

Original von sulo

Du solltest nicht auf die pq-Formel fixiert sein, die brauchst Du nämlich hier gar nicht... Augenzwinkern

Augenzwinkern

...

Wie kann man das denn ohne PQ-Formel lösen?? verwirrt

verwirrt

traurig

01.03.2009, 14:01

Jacques

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RE: Quadratische Gleichung lösen

Zitat:

Original von ....

Wie kann man das denn ohne PQ-Formel lösen?? verwirrt

verwirrt

traurig

Beispielsweise durch Umformen nach den binomischen Formeln:

$\begin{eqnarray*} 2x(a^2 + ab) - ab^2 = 2a^2b + ax^2 \ \Longleftrightarrow\ 2x(a + b) - b^2 = 2ab + x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow\ x^2 - 2x(a + b) + 2ab + b^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Beachte: Der Term auf der linken Seite hast fast die Form x² - 2x(a + b) + (a + b)² = (x - (a + b))². Es fehlt nur noch a². Und das ergänzt man einfach:

$\begin{eqnarray*} x^2 - 2x(a + b) + 2ab + b^2 = 0 \ \Longleftrightarrow\ x^2 - 2x(a + b) + a^2 + 2ab + b^2 = a^2 \ \Longleftrightarrow\ (x - (a + b))^2 = a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow\ x - (a + b) = +\sqrt{a^2}\ \vee\ x - (a + b) = - \sqrt{a^2} \end{eqnarray*}$

Und die Wurzel aus a² ist |a|. Also erhält man

$\begin{eqnarray*} x - (a + b) = +|a|\ \vee\ x - (a + b) = -|a| \end{eqnarray*}$

Anstelle der beiden Lösungen +|a| und -|a| kann man auch einfach a und -a nehmen, was ja auf dasselbe hinausläuft. Der Rest ist dann klar, oder?

Sonst kann man bei quadratischen Gleichungen auch immer die Methode der quadratischen Ergänzung benutzen. Oder die abc-Formel. Oder man kann geschickt umformen. Es gibt in jedem Fall mehr als nur die pq-Formel.

01.03.2009, 14:17

sulo

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RE: Quadratische Gleichung lösen
Hi, da ja nun alles gelöst wurde und es anscheinend doch jemand interessiert, hier nun meine Version der Rechnung:

$\begin{eqnarray*} 2x(a^2 + ab)-ab^2= 2a^2b+ax^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid :a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2ax +2xb -b^2= 2ab+x^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid +b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2ax +2xb = 2ab+x^2 +b^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid -2xb; -2ab \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2ax -2ab = x^2 - 2xb +b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a(x-b) = (x-b)(x-b) \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung wird erfüllt, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2a + b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_2 = b \end{eqnarray*}$

LG sulo

01.03.2009, 14:20

sulo

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RE: Quadratische Gleichung lösen
Ahh, Jacques ist auch auf den Dreh mit den binom. Formeln gekommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Allerdings hat er es wieder etwas anders als ich gemacht...

Wir erkennen: viele Wege führen nach Rom ...

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