Extremwertaufgabe |
28.02.2009, 17:57 | Eddy2k | Auf diesen Beitrag antworten » |
Extremwertaufgabe habe hier eine Extremwertaufgabe vorliegen und weiß nicht, wie ich die lösen soll. Das ist bei mir mit den Extremwertaufgaben immer so Hier die Aufgabe: Ein Quader habe die Seitenlängen a, b, c. Wie müssen die Seitenlängen gewählt werden, damit be vorgegebenem Volumen V die Länge der Raumdiagonalen d möglichst klein ist? Meine bisherigen Erkenntnisse beschränken sich nur auf: V = a*b*b d = W(a² + b² + c²) Ich weiß nicht, wie ich auf die Nebenbedingungen komme... ein paar Tipps wären hilfreich mfg |
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28.02.2009, 22:02 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Extremwertaufgabe Da nur eine Nebenbedingung gegeben ist, liegt hier eine Extremwertaufgabe für eine Funktion mit zwei Variablen vor. Wir ersetzen c durch und haben daher die Funktion zu minimieren (auch das Quadrat der Raumdiagonale D hat an derselben Stelle ein Extremum). Notwendige Bedingung für einen Extremwert ist nun, dass alle partiellen Ableitungen ( ) gleich Null sind. Daraus resultiert ein nichtlineares Gleichungssystem in a, b, welches nach a,b aufzulösen ist. Mittels der hinreichenden Bedingungen (Hesse-Matrix) muss noch auf die Existenz des Minimums geprüft werden. Wenn du das alles richtig gerechnet hast, wirst du feststellen, dass die geforderte Bedingung von einem Würfel erfüllt wird. mY+ |
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28.02.2009, 22:58 | Eddy2k | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für den Ansatz Ich werd mich mal daran machen, wobei mir die Hesse Matrix noch nichts sagt bzw. ich hatte Sie noch nicht. mfg |
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28.02.2009, 23:16 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Extremwertaufgabe Du kannst ohne Weiteres überprüfen. mY+ |
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28.02.2009, 23:32 | Eddy2k | Auf diesen Beitrag antworten » |
So, also die Ableitungen habe ich soweit bestimmt, falls Sie nicht falsch sind. d'(nach a) = 2a - V^2*2*a*b^2/(a^4*b^4) = 0 = 2a - 2*V^2/(a^3*b^2) = 0 Nach ein Paar weiteren Rechenschritten komme ich schließlich auf: a= W(V/b) , wobei W = Wurzel bedeutet Für b entsprechen: b = W(V/a) Nun habe ich einmal a und einmal b in die Ausgangsgleichung eingesetzt, sodass man nachher zwei Gleichungen hat. a eingesetzt ergibt dann: d^2(a) = V*a*b + b^4*a + V d^2(b) = V*a*b + a^4*b + V(keine Garantie auf Richtigkeit ) Nun hattest du von Nichtlinearen-Gleichnungssystemen gesprochen. Das ist mir ganz neu und ich weiß nicht, wie ich das rechnen muss. Wahrscheinlich wollte unser Professor uns etwas ärgern ... mfg |
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28.02.2009, 23:52 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du musst ja auch noch analog die partielle Ableitung nach b berechnen und diese auch Null setzen. Dabei entstehen dann die beiden Gleichungen ----------------------------- Also gibt's eigentlich keinen Ärger ... mY+ |
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01.03.2009, 00:02 | Eddy2k | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Patielle Ableitung für b habe ich schon gebildet, so komme ich ja für die beiden Werte von a und b. Aber auf deine beiden Gleichungen oben bin ich nicht gekommen.... Jedoch bin ich auch auf das Ergebniss a = b gekommen, nur habe ich die beiden Gleichungen verwendet, die ich oben schon geschrieben habe. Jetzt wird es jedoch schwer, meine Gleichung zu lösen, wenn a = b ist. :/ Naja, ich versuch es mal weiter Vielen Dank! Edit: OK, ich habs |
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01.03.2009, 00:27 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Noch den Nachweis für das Minimum nicht vergessen, das geht aber ganz gut. ________________ Und übrigens: partiell Ergebnis ________________ mY+ |
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01.03.2009, 00:55 | Eddy2k | Auf diesen Beitrag antworten » |
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