Extremwertaufgabe

Neue Frage »

Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe
Hallo Leute,

habe hier eine Extremwertaufgabe vorliegen und weiß nicht, wie ich die lösen soll. Das ist bei mir mit den Extremwertaufgaben immer so Augenzwinkern

Hier die Aufgabe:

Ein Quader habe die Seitenlängen a, b, c. Wie müssen die Seitenlängen gewählt werden, damit be vorgegebenem Volumen V die Länge der Raumdiagonalen d möglichst klein ist?

Meine bisherigen Erkenntnisse beschränken sich nur auf:

V = a*b*b

d = W(a² + b² + c²)

Ich weiß nicht, wie ich auf die Nebenbedingungen komme... ein paar Tipps wären hilfreich smile

mfg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe
Da nur eine Nebenbedingung gegeben ist, liegt hier eine Extremwertaufgabe für eine Funktion mit zwei Variablen vor. Wir ersetzen c durch und haben daher die Funktion



zu minimieren (auch das Quadrat der Raumdiagonale D hat an derselben Stelle ein Extremum).

Notwendige Bedingung für einen Extremwert ist nun, dass alle partiellen Ableitungen ( ) gleich Null sind. Daraus resultiert ein nichtlineares Gleichungssystem in a, b, welches nach a,b aufzulösen ist.

Mittels der hinreichenden Bedingungen (Hesse-Matrix)



muss noch auf die Existenz des Minimums geprüft werden.

Wenn du das alles richtig gerechnet hast, wirst du feststellen, dass die geforderte Bedingung von einem Würfel erfüllt wird.

mY+
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Ansatz smile

Ich werd mich mal daran machen, wobei mir die Hesse Matrix noch nichts sagt bzw. ich hatte Sie noch nicht.

mfg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe
Du kannst ohne Weiteres



überprüfen.

mY+
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

So,

also die Ableitungen habe ich soweit bestimmt, falls Sie nicht falsch sind.

d'(nach a) = 2a - V^2*2*a*b^2/(a^4*b^4) = 0

= 2a - 2*V^2/(a^3*b^2) = 0

Nach ein Paar weiteren Rechenschritten komme ich schließlich auf:

a= W(V/b) , wobei W = Wurzel bedeutet

Für b entsprechen:

b = W(V/a)

Nun habe ich einmal a und einmal b in die Ausgangsgleichung eingesetzt, sodass man nachher zwei Gleichungen hat.

a eingesetzt ergibt dann:

d^2(a) = V*a*b + b^4*a + V

d^2(b) = V*a*b + a^4*b + V(keine Garantie auf Richtigkeit Augenzwinkern )

Nun hattest du von Nichtlinearen-Gleichnungssystemen gesprochen. Das ist mir ganz neu und ich weiß nicht, wie ich das rechnen muss.
Wahrscheinlich wollte unser Professor uns etwas ärgern ... smile

mfg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst ja auch noch analog die partielle Ableitung nach b berechnen und diese auch Null setzen. Dabei entstehen dann die beiden Gleichungen




-----------------------------













Also gibt's eigentlich keinen Ärger ...

mY+
 
 
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Die Patielle Ableitung für b habe ich schon gebildet, so komme ich ja für die beiden Werte von a und b.

Aber auf deine beiden Gleichungen oben bin ich nicht gekommen....
Jedoch bin ich auch auf das Ergebniss a = b gekommen, nur habe ich die beiden Gleichungen verwendet, die ich oben schon geschrieben habe.

Jetzt wird es jedoch schwer, meine Gleichung zu lösen, wenn a = b ist. :/
Naja, ich versuch es mal weiter smile

Vielen Dank!

Edit: OK, ich habs Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Noch den Nachweis für das Minimum nicht vergessen, das geht aber ganz gut.
________________

Und übrigens:

partiell

Ergebnis

________________

mY+
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »