Extremwertprobleme

10.09.2006, 11:15

mathemal

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Extremwertprobleme

Guten Morgen.

Ich schreibe nächste Woche meine Matheklausur und hatte vor noch eine Aufgabe zu rechnen.
Diese Lautet:

Welche quadratische Säule mit gegebenem Volumen hat die kürzeste Körperdiagonale?

Das erste Problem bekomme ich schon bei der Hauptbedingung. Ich nenen die qudaratischen Grundseiten x und die Höhe y.

$\begin{eqnarray*} Koerperdiagonale=\sqrt{\sqrt{2}*x+ y^{2} } \end{eqnarray*}$

Ist das so machbar?Ich habe die diagonale der Grundfläche und die Höhe betrachtet um die Koeperdiagonale rauszubekommen.

10.09.2006, 11:18

co0kie

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Du bist schon auf dem richtigen Weg, denke ich, aber die Körperdiagonale wird durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{2x² + y²} \end{eqnarray*}$ berechnet.

10.09.2006, 11:48

mathemal

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Stimmt

Hammer

.

So nun habe ich mir überlegt, da das Volumen vorgegeben ist und diese Vorgaben meist verwendet werden müssen dies umzustellen.(Nebenbedingung).

$\begin{eqnarray*} V=x^{2}*y \end{eqnarray*}$ und habe nach $\begin{eqnarray*} x^{2}= \frac{v}{y} \end{eqnarray*}$ umgestellt.

Die Gleichung die sich daraus in der Variabelenelimination ergibt lautet:

$\begin{eqnarray*} S(y)= \sqrt{\frac{2v}{y}+ y^{2} } \end{eqnarray*}$ ; wobei y ungleich 0 und S die Körperdiagonale sei.

Ist bis hier hin alles richtig?

Danke schon mal!

10.09.2006, 11:50

co0kie

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Sieht für mich 1a richtig aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.09.2006, 11:50

zweiundvierzig

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Du solltest Dich entscheiden, ob du $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ groß oder gleich schreiben willst. Es ist aber sonst richtig smile

smile

10.09.2006, 12:04

mathemal

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So nun komme ich zu meinem eigentlichen Problem.

Ich bin gerade dabei die Zielfunktion aufzustellen und komme in diesem Schritt nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} S(y)=\sqrt{\frac{y^{3}+2v }{y} } \end{eqnarray*}$

Ich bekomme die Wurzel nicht weg. Hilfe

Hilfe

Danke bis hierhin!

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10.09.2006, 12:07

co0kie

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Du musst die erste Ableitung bilden und diese gleich 0 setzen, um Maxima zu finden.

10.09.2006, 12:08

Serpen

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was ist so schlimm daran dass da ne wurzel stehenbleibt?
Wurzelfunktionen lassen sich auch differenzieren

10.09.2006, 12:16

zweiundvierzig

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Stichwort: Kettenregel

10.09.2006, 12:16

mathemal

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Das Problem habe ich schon seit der 11 Klasse. Ich muss bestimmt diese Kettenregel benutzen. Nur leider habe wir diese noch nicht kennen gelernt und müssen anders vorgehen. In welcher Klasse wird diese normalerweise denn gelert?

Da war ich wohl ein bisschen zu spat ^^.

10.09.2006, 12:20

zweiundvierzig

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Bei uns kam die in der 11...

Sie besagt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=u(v(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'(v(x))*v'(x) \end{eqnarray*}$

Also bspw bei $\begin{eqnarray*} f(x)=(x^2+2)^3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3*(x^2+2)^2*2x \end{eqnarray*}$

Du leitest zuerst die äußere und dann die innere Funktion ab. Wie lässt sich denn Deine Funktion in so eine Form bringen?

10.09.2006, 12:26

mathemal

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Tja. Ich sehe jetzt auch keien andere Möglichkeit die anders zu lösen. Nehme dann mal an dann, dass ich mir eine Aufgabe rausgepickt habe die ich nicht lösen kann mit den Rechenregeln, die ich bis jetzt kennengerlernt habe.

10.09.2006, 12:31

co0kie

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Sorry, aber so ganz versteh ich euer Problem nicht?

Kann man nicht einfach "unter der Wurzel" ableiten? Sodass da steht:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{3y² + 2V}{y²}} \end{eqnarray*}$

Und dann einfach = 0 setzen und quadrieren, dann ist die Wurzel doch weg!?

10.09.2006, 12:33

riwe

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Zitat:

Original von mathemal

$\begin{eqnarray*} S(y)= \sqrt{\frac{2v}{y}+ y^{2} } \end{eqnarray*}$ ;
Danke schon mal!

mache dir doch das leben nicht so schwer mit dem folgenden.
bestimme das extremum von
$\begin{eqnarray*} f(y) = S^{2}(y)=\frac{2V}{y}+y^{2} \end{eqnarray*}$
das liegt an derselben stelle.
(du ersparst dir dabei das herumfummeln an der wurzel Big Laugh

Big Laugh

und du brauchst nur potenzen abzuleiten)
werner

10.09.2006, 12:54

mathemal

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Genau das war das !!!! Freude

Freude

Stimmt. Wir haben ja extra bewiesen das
die quadrierte Funktion die gleichen Extremstellen hat wie die Normale.
Ja Sonntags morgens...
Danke.

10.09.2006, 13:36

mathemal

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Habe nun auch den Extremwert ermittelt $\begin{eqnarray*} v^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ .

Eingestzt in die 2.Ableitung und es kommt Tiefpunkt raus.

Nun die Frage zum Definitionsbereich wie kann ich den erkennen?

D(f)=]0;?[

10.09.2006, 13:40

zweiundvierzig

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Geht es um den Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} S(y)= \sqrt{\frac{2V}{y}+ y^{2} } \end{eqnarray*}$ ?

Hier musst du überlegen, welche Werte $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nicht annehmen darf, damit der Radikand negativ wird. Außerdem darf nicht durch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ dividiert werden.

10.09.2006, 14:11

mathemal

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Meiner Meinung nach kann y doch beliebig groß werden. Nur halt größer 0.

Ich tue mich damit irgendwie schwer.

10.09.2006, 14:18

zweiundvierzig

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Damit hast dus ja schon Freude

Freude

Jetzt brauchst Du nur noch die richtige Schreibweise.

10.09.2006, 14:35

mathemal

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Ja halt $\begin{eqnarray*} D(S)=]0;\mathbb R ^{>0}[ \end{eqnarray*}$ oder muss es $\begin{eqnarray*} D(S)=]0;\mathbb R ^{>0}] \end{eqnarray*}$ heißen?

Nun dann noch Randwertuntersuchung

$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0} S(y) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to \infty } S(y) \end{eqnarray*}$ .

Richtig so?

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