Frobeniusnorm: Ungleichung zeigen

01.03.2009, 14:07

eierkopf1

Frobeniusnorm: Ungleichung zeigen

Hallo!

Ich soll für $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb K^{m \times n}, ~B \in \mathbb K^{n \times r} \end{eqnarray*}$ folgende Ungleichung zeigen:
$\begin{eqnarray*} \| A \cdot B\|_F \leq \|A\|_F \|B\|_F \end{eqnarray*}$ .

Ich habe mal beide Seiten aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} \| A \cdot B\|_F = \| \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^r | \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}|^2}= \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^r \sum_{k=1}^n \sum_{k=1}^n |a_{ik}b_{kj}|^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \| A \|_F \cdot \|B\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n | a_{ij}|^2} \cdot \sqrt{\sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^r | b_{kl}|^2} =\sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^r | a_{ij}\cdot b_{kl}|^2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das mal soweit?

Wie gehts weiter? Oder kann man das einfacher zeigen, weil bei den ganzen Indizes und Summen verliert man leicht den Überblick.

01.03.2009, 17:03

WebFritzi

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RE: Frobeniusnorm: Ungleichung zeigen

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} \| A \cdot B\|_F = \| \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^r | \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}|^2}= \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^r \sum_{k=1}^n \sum_{k=1}^n |a_{ik}b_{kj}|^2} \end{eqnarray*}$

Wie du auf das letzte Gleichheitszeichen kommst, ist mir schleierhaft. Die zweite Zeile stimmt aber. Du solltest darin aber l und j vertauschen, so dass sich die Indizes der beiden Seiten entsprechen. Mit einem scharfen Blick erkennt man dann die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für Summen.

03.03.2009, 13:23

eierkopf1

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RE: Frobeniusnorm: Ungleichung zeigen
Danke für die Antwort!

Ich hatte nicht bedacht, dass generell gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=m}^n a_k \cdot b_k \neq \sum_{k=m}^n a_k \cdot \sum_{k=m}^n b_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \| A \cdot B\|_F = \| \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^r | \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}|^2}\leq \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^r \left( \sum_{k=1}^n |a_{ik}b_{kj}| \right) ^2} \end{eqnarray*}$

Hier kann ich das alles zusammenziehen, da die Indizes nicht von einander abhängen, oder?

$\begin{eqnarray*} \| A \|_F \cdot \|B\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{l=1}^n | a_{il}|^2} \cdot \sqrt{\sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^r | b_{kj}|^2} =\sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{l=1}^n \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^r | a_{il}\cdot b_{kj}|^2} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich deinen Tipp mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichunge befolgt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^r \left( \sum_{k=1}^n |a_{ik}b_{kj}| \right) ^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^r \left[ \left( \sum_{k=1}^n |a_{ik}|^2 \right) ^{\frac 1 2} \cdot \left( \sum_{k=1}^n |b_{kj} |^2 \right)^{\frac 1 2} \right]^2 } = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ \left[ \sum_{i=1}^m \left( \sum_{k=1}^n |a_{ik}|^2 \right)\right] \cdot \left[ \sum_{j=1}^r \left( \sum_{k=1}^n |b_{kj} |^2 \right) \right] } = \sqrt{ \sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^n |a_{ik}|^2 } \cdot \sqrt{ \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^r | b_{kj} |^2 } \end{eqnarray*}$

Und das war zu zeigen.

Sollte so stimmen, oder?

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