Reihen: Konvergenz und Grenzwert

01.03.2009, 20:49

sChUhBiDu

Reihen: Konvergenz und Grenzwert

Die Reihe sieht wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4k^2-1} \end{eqnarray*}$

Für Konvergenz: (Majorantenkriterium)
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4k^2-1} \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{4k^2} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

Da 1/k^2eine Nullfolge ist, ist die Reihe konvergent. Jetzt sagt mir Maple, dass die Reihe gegen $\begin{eqnarray*} \frac{\Pi^2}{12} \end{eqnarray*}$ konvergiert. Kommt da einer drauf klar? Bzw. kann mir jemand beim Grenzwert helfen?

Edit: Summe läuft ab k=1

01.03.2009, 20:57

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Moooment: Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{12} \end{eqnarray*}$ , richtig - aber du suchst doch den Wert von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4k^2-1} \end{eqnarray*}$ . Und der ist als Teleskopsumme viel einfacher zu berechnen. Augenzwinkern

02.03.2009, 00:01

Musti

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Da hat Arthur völlig recht.
Dazu musst du ne kleine Partialbruchzerlegung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4k^2-1} \end{eqnarray*}$ machen.

02.03.2009, 09:01

jester.

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RE: Reihen: Konvergenz und Grenzwert

Zitat:

Original von sChUhBiDu
Da 1/k^2eine Nullfolge ist, ist die Reihe konvergent.

Diese Begründung ist nicht ganz sauber. Weißt du selbst warum?

02.03.2009, 10:00

sChUhBiDu

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@Jester:
Wenn dir die Aussage zur Monotonie fehlt: fallend.

02.03.2009, 10:07

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Das ist es nicht, was jester meint: Bei der harmonischen Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ bilden die Reihenglieder ebenfalls eine monoton fallende Nullfolge, von Konvergenz der Reihe kann aber keine Rede sein. unglücklich

Ich weiß auch gar nicht, warum du dich so bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ aufhältst. Wahrscheinlich hast du meine Anmerkung des "viel einfacher berechnen" nicht für voll genommen: Das bezieht sich ja auch und gerade auf die mögliche direkte Berechnung der Partialsummen (wie immer bei Teleskopsummen und -reihen) deiner Originalreihe und die dann unmittelbar sichtbare Konvergenz dieser Partialsummenfolge. Tatsächlich ist es ja umgekehrt so, dass man meistens die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ über

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \leq 1+\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k(k-1)} \end{eqnarray*}$

erklärt, weil das rechts auch eine wunderbar ausrechenbare Teleskopsumme ist.

02.03.2009, 12:08

sChUhBiDu

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Ich habe mich an dieser Reihe nicht aufgehalten, sondern die Kovergenz gezeigt. Dass Summe(1/k^2) konvergiert, ist ebenso hinlänglich bekannt, wie dass die Summe(1/k) divergiert.

Nun kann der Wert der Reihe bestimmt werden.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4k^2 - 1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^{n} \frac{1}{(2k - 1) \cdot (2k+1)} \end{eqnarray*}$ ist nach Partialbruchzerlegung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2}(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k - 1)} - \frac{1}{(2k+1)}) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2}(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k - 1)} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)}) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2}(1 + \sum_{l=1}^{n-1} \frac{1}{(2l + 1)} - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(2k+1)} - \frac{1}{(2n + 1)}) \\= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{(2n + 1)}) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Also ist der Wert der Summe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

02.03.2009, 13:17

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Ok, aber man kann doch gleich weniger umständlich so vorgehen: Die n-te Partialsumme dieser Reihe ist

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{4k^2 - 1} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) \end{eqnarray*}$ .

Damit sieht man

a) dass die Partialsummenfolge der Reihe (und damit definitionsgemäß die Reihe selbst) konvergiert, und

b) dass der entsprechende Grenzwert gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist.

Der Abschätzungsteil mit dem $\begin{eqnarray*} \leq \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ wird damit völlig überflüssig - das habe ich gemeint!

P.S.: Überprüfe mal deine Reihenindizes, da gibt es an einigen Stellen ein Gewusel $\begin{eqnarray*} n\leftrightarrow k \end{eqnarray*}$ .

02.03.2009, 13:58

sChUhBiDu

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Mag ja alles sein, dass du das so schön direkt sehen kannst. Ich kann es leider nicht und daher habe ich mich auf den mühsamen Weg begeben die Aufgabe zu lösen. Die Indizies müssen geändert werden bei einer Indextransformation. So habe ich es zumindest gelernt, aber jedem das seine.
Ich denke mal, klar sollte man immer die effizienteste Lösung nehmen oder die, die "am schönsten" ist. Aber ich denke ein Großteil der Leute die hier reinschauen, möchten auch gerne mal ein, ich nenne es mal Schema sehn, mit dem sie solche Aufaben lösen können. Ich bewundere Leute, die mir Wege aufzeigen können an die ich niemals gedacht hätte. Aber mir fällt es leichter viele Aufgaben nach besimmten Mustern zu lösen.

02.03.2009, 15:01

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Zitat:

Original von sChUhBiDu
Die Indizies müssen geändert werden bei einer Indextransformation. So habe ich es zumindest gelernt, aber jedem das seine.

Du kannst dir deinen patzigen Ton sparen - noch dazu, wenn du es dir fachlich in keinster Weise leisten kannst: Ich rede davon, dass du bestimmt nicht

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4k^2 - 1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^{n} \frac{1}{(2k - 1) \cdot (2k+1)} \end{eqnarray*}$

gemeint haben kannst, sondern eher

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4k^2 - 1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k - 1) \cdot (2k+1)} \end{eqnarray*}$ .

02.03.2009, 16:16

sChUhBiDu

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hmm, da du keine privaten Nachrichten annimmst (zumindest nicht von mir):

Es tut mir leid, wenn mein Beitrag patzig geklungen haben sollte. So gemeint war er mit Sicherheit nicht. Ich wollte damit nur ausdrücken, dass ich es wahrscheinlich anders gelernt habe, aber jeder Weg seine Berechtigung hat. Wenn du mein Posting bis zum Ende gelesen hast, wirst du sicher merken, dass ich das mit großer Wahrscheinlichkeit nicht negativ gemeint haben kann.

Ich hoffe du nimmst diese Enschuldigung an, denn ich möchte keinen Ärger haben.

Gruß
Frank

p.s.:Ja da oben habe ich mich wirklich mit den Indizies vertan, aber zum Glück an einer weniger entscheidenden Stelle Big Laugh

02.03.2009, 16:22

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Musst du denn alles verdrehen? Ich hab doch deutlich markiert, welche Passage ich als patzig empfunden habe. Immer liest du oberflächlich, und beziehst Anmerkungen auf die falschen Sachen, wie schon bei der Summe. So wird das nichts mit einer vernünftigen Kommunikation, lassen wir es also lieber. unglücklich

02.03.2009, 20:37

Himbeer-Toni

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Zitat:

Original von sChUhBiDu
Aber ich denke ein Großteil der Leute die hier reinschauen, möchten auch gerne mal ein, ich nenne es mal Schema sehn, mit dem sie solche Aufaben lösen können.

Aber genau das ist doch passiert!

Reihen dieser Art lassen sich nun mal via Partialbruchzerlegung als Teleskopsumme darstellen.
Das ist hier die geeignet Vorgehensweise welche die ganze Konvergenzkriterienschlacht überflüssig macht und nebenbei den Reihenwert liefert.

Für Reihen anderer Bauart sieht's dann möglicherweise ganz anders aus.

Kurzum, das von Dir herbeigesehnte grundsätzliche 'Schema' für die Grenzwertbestimmung von Reihen gibt es nicht.

Im Rechenunterricht an der Schule mag man ganz gut damit fahren einfach ne Handvoll Rezepte für bestimmte Aufgabentypen auswendig zu lernen.
In der Mathematik isses damit nicht getan.

Nicht zuletzt aus diesem Grund wird z.B. Analysis nicht als Wochenend-Crashkurs angeboten.

03.03.2009, 01:50

WebFritzi

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Nun macht euch mal alle nicht ins Hemd. Schubi kriegt halt sein Schema mit dem Majorantenkriterium. Juut, und dann weiß er, dass die Reihe konvergiert. Das ist Standard-Zeugs. Den Grenzwert einer Reihe zu berechnen, ist allerdings kein Standard mehr, und da muss man sich eben so schöne Dinge einfallen lassen wie der Arthur. Da gibt es dann kein Schema mehr.

03.03.2009, 08:48

sChUhBiDu

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Zitat:

Original von Arthur Dent lassen wir es also lieber. unglücklich

@Toni, Fritzi
Bitte haltet euch dran. Danke Freude

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