Quadratpflanze

01.03.2009, 22:01	NatürlicheZahl	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratpflanze Hallo, wahrscheinlich kennen viele von euch die Quadratpflanze. Ich möchte gerne eine allgemeine Vorschrift für die Folge aufstellen (Flächeninhalt der Pflanze am n-ten Tag). Die Fläche beträgt am 1. Tag 1m². Deren Seitenlänge beträgt nur noch 1/3 der Seitenlänge in der vorangegangen Generation. Folgendes habe ich mir überlegt: $\begin{eqnarray} A_n = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}+...+\frac{1}{3^n} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} A_n = \sum_{k=0}^n~ \frac{1}{3^n} \end{eqnarray}$ Um dies nun in eine explizite Vorschrift umzusetzen, dachte ich an die geometrische Reihe, um die ganzen Flächeninhalte aufzusummieren. $\begin{eqnarray} S_n = \frac{a(1-q^n)}{1-q} \end{eqnarray}$ Wobei a das erste Glied der Folge und q der konstante Faktor ist. Also: $\begin{eqnarray} S_n = \frac{1(1-(\frac{1}{3^n})^n)}{1-(\frac{1}{3})^n} \end{eqnarray}$ Leider kommt da aber kein richtiges Ergebnis zustande. Für Hilfe wäre ich dankbar!
01.03.2009, 22:35	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum einen gilt $\begin{eqnarray} S_n = \frac{a(1-q^{n+1})}{1-q} \end{eqnarray}$ und zum anderen ist - abgesehen davon - $\begin{eqnarray} S_n = \frac{1(1-(\frac{1}{3^n})^n)}{1-(\frac{1}{3})^n} \end{eqnarray}$ trotzdem falsch. Warum potenzierst du q im Nenner lg
02.03.2009, 14:55	NatürlicheZahl	Auf diesen Beitrag antworten »
Na weil doch gilt $\begin{eqnarray} A_n = \sum_{k=0}^n~ \frac{1}{3^n} \end{eqnarray}$
02.03.2009, 16:49	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein q ist 1/3 und nicht 1/3^n...
02.03.2009, 18:58	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur um das nochmal festzuhalten. Es gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray}$ für alle q>0

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