Von KuS erzeugter Ring/Körper

02.03.2009, 10:51	guest_1402	Auf diesen Beitrag antworten »
Von KuS erzeugter Ring/Körper Servus! Ich hänge gerade beim beweisen folgender Aussage: Seien $\begin{eqnarray} K\subseteq F \end{eqnarray}$ Körper. $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} K(S):=\bigcap_{E...Koerper, K\cup S\subseteq E\subseteq F}E \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K[S]:=\bigcap_{R...Ring, K\cup S\subseteq R\subseteq F}R \end{eqnarray}$ Dann gilt: Wenn $\begin{eqnarray} K[S] \end{eqnarray}$ ein Körper ist, dann gilt $\begin{eqnarray} K[S]=K(S) \end{eqnarray}$ So, mein Ansatz: Da jeder Körper Ring ist, gilt ja schonmal $\begin{eqnarray} K[S]\subseteq K(S) \end{eqnarray}$ zu zeigen wäre für mich also noch, dass wenn $\begin{eqnarray} K[S] \end{eqnarray}$ Körper ist, auch $\begin{eqnarray} K(S)\subseteq K[S] \end{eqnarray}$ gilt. Sprich jeder Ring $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} K\cup S\subseteq R\subseteq F \end{eqnarray}$ auch ein Körper ist. Wenn $\begin{eqnarray} K[S] \end{eqnarray}$ Körper ist, dann gilt ja schonmal, dass das Einselement in allen $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ mit der obigen Eigenschaft enthalten sein muss, weil es eben im Durchschnitt dieser enthalten ist. Da $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ als Körper kommutativ ist, muss auch gelten, dass jedes $\begin{eqnarray} R\subseteq F \end{eqnarray}$ auch kommutativ ist. Was also noch fehlt zu zeigen ist, dass jeder Ring mit $\begin{eqnarray} K\cup S\subseteq R\subseteq F \end{eqnarray}$ lauter invertierbare Elemente besitzt. Da $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} K[S] \end{eqnarray}$ enthalten sind, bedeutet dies, dass alle Elemente aus $\begin{eqnarray} K\cup S \end{eqnarray}$ auch in den einzelnen $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ invertierbar sein müssen. Mein Problem ist es nun zu zeigen, dass für ein $\begin{eqnarray} r\in R\setminus (K\cup S) \end{eqnarray}$ auch Inverse in $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ existieren. Ich bin mir aber da nicht sicher wie ich das am besten anstelle und wäre für Denkanregungen sehr, sehr dankbar. lG Philipp
02.03.2009, 11:45	guest1402	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab da jetzt einen anderen Ansatz, der auch zu einer Lsg. führt. Allerdings ist dieser Beweis so kurz, dass ich befürchte, dass ich irgendetwas übersehen habe. Vllt. könnte jemand drüberdenken: Wie gesagt gilt ja schon nach Definition: $\begin{eqnarray} K[S]\subseteq K(S) \end{eqnarray}$ Wenn nun $\begin{eqnarray} K[S] \end{eqnarray}$ selbst ein Körper ist, dann gilt ja: $\begin{eqnarray} K(S)=\bigcap_{E...Koerper, K\cup S\subseteq E \subseteq F}E=\bigcap_{E...Koerper, K\cup S\subseteq E \subseteq F,E \neq K[S]}E\cap K[S]\subseteq K[S] \end{eqnarray}$ Hab ich da irgendetwas übersehen? Kommt mir nämlich zu einfach vor.
02.03.2009, 12:20	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach=gut! Kurz und knapp: $\begin{eqnarray} K[S] \end{eqnarray}$ ist ein Körper, außerdem $\begin{eqnarray} K\cup S\subseteq K[S]\subseteq F \end{eqnarray}$ , und somit ist per Definition $\begin{eqnarray} K(S)\subseteq K[S] \end{eqnarray}$ Gruß, Reksilat.
02.03.2009, 12:33	guest_1402	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Bestätigung. Ich mach dieses Semester Endliche Körper und Codierung, nur ist mein Algebra schon dermaßen eingerostet, dass ich oft das Gefühl habe irgendetwas zu übersehen (das passiert ja in der Algebra recht schnell). Man sieht ja auch, dass ich mit meinem ersten Ansatz viel zu kompliziert gedacht habe (auch etwas wozu ich mich in der Algebra leicht verleiten lasse). Ich werd mich dann wohl auch gleich registrieren, da das garantiert nicht die letzte Frage von mir bleiben wird lG Philipp
02.03.2009, 12:37	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann sei herzlich willkommen Philipp und viel Spaß hier im Forum.

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