Cauchyprodukt

04.06.2004, 16:49

Tomate

Cauchyprodukt

geh eigentlich noch zur schule, aber im rahmen von "Studieren ab 16" nehm ich an der Vorlesung Analysis 1 teil.
und vielleicht kann mir da ja jemand hiermit helfen, ich verstehe das nicht.

Für $\begin{align*} n\in \calN \end{align*}$ sei

a(n):=b(n):= $\begin{align*} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} \end{align*}$

und
c(n):= $\begin{align*} \Bigsum_{k=0}^n~a(n-k)b(k) \end{align*}$

Zeige, dass die Reihen $\begin{align*} \Bigsum_{k=0}^\infty~a(n) \end{align*}$ und $\begin{align*} \Bigsum_{k=0}^\infty~b(k) \end{align*}$ konvergieren, ihr Cauchy-Produkt $\begin{align*} \Bigsum_{k=0}^\infty~c(k) \end{align*}$ aber nicht konvergiert

Vielen Dank

04.06.2004, 17:38

Ben Sisko

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RE: Cauchyprodukt
Wo genau liegt denn das Problem?

Die einzelnen Reihen kannst du? (Schreien ja als alternoierende geradezu nach dem Leibniz-Kriterium Augenzwinkern

).

Gruß vom Ben

04.06.2004, 17:42

Philipp-ER

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Um die Konvergenz zu zeigen:
Leibnizsche Regel.
Für die Divergenz:
Zeige, dass ab einem gewissen Index gilt:
|c_k|>=1; damit muss alles klar sein.

17.11.2007, 21:40

thehelpneeder

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hi
ich sitze vor der selben aufgabe.
das die reihe selbst konvergiert, war schnell mit leibnitz gezeigt.
Aber ich komme beim cauchyprodukt net weiter.

komme bis zu folgender zeile:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\frac{{(-1)}^n}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)} } \end{eqnarray*}$

Hab auch ne Lösung vor mir. Am Ende kommt $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n+1} = 1 \end{eqnarray*}$ raus

22.11.2010, 23:24

Manni Feinbein

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Offensichtlich gilt für $\begin{eqnarray*} k\leq n \end{eqnarray*}$ folgende Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \underbrace{(k+1)}_{\leq n+1}\underbrace{(n-k+1)}_{\leq n+1}\leq(n+1)^2. \end{eqnarray*}$

Damit sollte dann alles klar sein.

22.11.2010, 23:27

Iorek

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Manni, ist zwar eine nette Hilfe die du anbietest, allerdings kommt die Anfrage von thehelpneeder noch von 2007. Augenzwinkern