Elementares Beispiel zu Gruppen

02.03.2009, 13:22

Skygge

Elementares Beispiel zu Gruppen

Hey hey

Ich muss folgende Aufgabe lösen und ich komm schon da nicht mehr weiter...

Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb F^7= \{x \in \mathbb C : x^7=1 \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ast: \mathbb F^7 \times \mathbb F^7 \rightarrow \mathbb F^7 \end{eqnarray*}$ die Verknüpfung gegeben durch $\begin{eqnarray*} x \ast y= \overline {x}y \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} ( \mathbb F^7,\ast ) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe?

Sehe ich das richtig, dass dies keine Gruppe ist, da sich kein sinnvolles 1-Element e von F7 finden lässt, so dass für jedes x in F7: e*a=a*e=e ist? Oder gibt es ein solches 1-Element? 1 kann es sicher nicht sein... Kann mir jemand helfen?

Und um etwas Platz zu sparen und nicht das Forum vollzuspamen:

Sei G eine Gruppe mit genau 4 Elementen. Bemerke, dass dann G abelsch ist. Zeige, dass G entweder isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^2 \times \mathbb Z^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Bei dieser Aufgabe weiss ich schon nicht mal wo ich beginnen soll. Die ist sicher extrem einfach, sehe ich das richtig? Wo soll ich beginnen? Gibt es im Internet gute Seiten, wo für jemanden, der nichts von Algebra versteht, halbwegs verständlich die grundlegendsten Dinge kurz erläutert sind? Oder gibt es ein gutes Buch dafür?

Wäre für jede Hilfe oder Anregung sehr dankbar

02.03.2009, 17:04

Leopold

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Löse die Gleichung $\begin{eqnarray*} e*y = y \end{eqnarray*}$ nach Anwendung der Definition nach $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ auf. Was folgt daraus für $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ? Und was ist dann mit dem so gefundenen $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ hinsichtlich $\begin{eqnarray*} y*e = y \end{eqnarray*}$ zu sagen?

02.03.2009, 18:24

Skygge

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Ich verstehe nicht, was du meinst. Es muss für alle Elemente gelten:

$\begin{eqnarray*} e \ast y = y \ast e =y \end{eqnarray*}$

Also gilt nach der Definition

$\begin{eqnarray*} y \ast e= \overline{y}e=y \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \overline{y}e=y \end{eqnarray*}$

Es kann kein eindeutiges e dieser Form in $\begin{eqnarray*} \mathbb F^7 \end{eqnarray*}$ geben. Richtig? Oder hä, wie soll ich argumentieren?

03.03.2009, 23:59

TommyAngelo

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Geht in die Richtung.

Die Linkseins müsste klar sein, oder?

Die Rechtseins ist schon etwas schwieriger:

(a+bi) verknüpt mit e = (a+bi)
(a-bi)*e = a+bi

Kannst du so etwas nach e auflösen, praktisch 2 komplexe Zahlen dividieren?

04.03.2009, 00:55

Reksilat

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@TommyAngelo: In jeder Gruppe sind rechts- und linksneutrales Element gleich (und eindeutig), da gibt es also nicht viel herumzurechnen.

Wenn Du, Skygge, Deine Vermutungen etwas ausführlicher darstellen könntest, wäre es für alle hilfreich, denn Du schreibst schließlich überall, dass Dir die Ergebnisse vollkommen klar sind, aber es ist nicht nachvollziehbar, wo bei Dir das Problem liegt.
Ansonsten gilt halt für das neutrale Element: $\begin{eqnarray*} y=e* y=\overline{e}y \end{eqnarray*}$ . Was muss dann $\begin{eqnarray*} \overline{e} \end{eqnarray*}$ sein?

Zur zweiten Aufgabe: Es ist nicht hilfreich, verschiedene Aufgaben in einem Thread zu behandeln, da es quasi einen Helfer verpflichtet, sich mit mehreren Aufgaben auseinanderzusetzen. Die beiden Aufgaben haben nicht unmittelbar etwas miteinander zu tun und rechtfertigen somit separate Threads.

04.03.2009, 09:54

TommyAngelo

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Zitat:

Original von Reksilat
@TommyAngelo: In jeder Gruppe sind rechts- und linksneutrales Element gleich (und eindeutig), da gibt es also nicht viel herumzurechnen.

Wenn du diese nämlich hier in der Aufgabe gleichsetzt, kommst du zum Ergebnis, dass b=0, also der der Imaginärteil 0 ist. Und das schränkt die Menge ein. Deswegen ist es keine Gruppe.

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