Stammfunktion für Vollprofis

02.03.2009, 17:43	Command	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion für Vollprofis Hallo! Ich habe hier mal eine spanndere Funktion für euch, die Halbkreis-Funktion für r=1 Funktion: $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ Zwischenschritte: ??? Stammfunktion: $\begin{eqnarray} F(x)=\frac{x\sqrt{1-x^2}+ asin(x)}{2} \end{eqnarray*}$ Kann mir jemand die Rechenschritte dazwischen erklären, bzw. aufschreiben? Vielen Dank schonmal MfG
02.03.2009, 18:00	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo kommt denn das a in der Lösung plötzlich her? Eine Komplettlösung wirst du nicht kriegen. Als Ansatz sei dir die Substitution $\begin{eqnarray} x=\sin{u} \end{eqnarray}$ gegeben. Wie weit kommst du damit?
02.03.2009, 18:14	Command	Auf diesen Beitrag antworten »
oh das ist wohl ein missverständnis.. asin= arcus sinus oder sin^-1 Jetzt alles klar?
02.03.2009, 19:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Antwort, die niemand hören will (weil immer alle so gern rechnen): Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist durch $\begin{eqnarray} F(x) = \int_0^x \sqrt{1 - t^2}~\dd t \ \ \mbox{für} \ \ -1 \leq x \leq 1 \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ definiert. Für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ zeigt die Figur den Zusammenhang $\begin{eqnarray} F(x) = \frac{1}{2} \left( x \sqrt{1 - x^2} + \arcsin x \right) \end{eqnarray}$ [attach]9930[/attach] Und da beide Seiten der Gleichung ihr Vorzeichen ändern, wenn $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sein Vorzeichen ändert, gilt die Gleichung auch für $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ . Nach Integraldefinition ist $\begin{eqnarray} F(0)=0 \end{eqnarray}$ , und genau das liefert auch die rechte Seite der Gleichung. Damit stimmt die Gleichung für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} -1 \leq x \leq 1 \end{eqnarray}$ .

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