Integral lösen anhand Partialbruchzerlegung

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03.03.2009, 15:40

California

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Integral lösen anhand Partialbruchzerlegung

Hi Jungs und Mädels, hab mich mal wieder an ner Aufgabe versucht und wollt wissen ob das so stimmt?

Habs angehangen

03.03.2009, 16:01

Rare676

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du solltest zunächst mal eine polynomdivision machen bevor du mit der PBZ anfängst...

03.03.2009, 16:10

Himbeer-Toni

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RE: Integral lösen anhand Partialbruchzerlegung
Rechne mal

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2} \end{eqnarray*}$

aus. Dann wirst Du feststellen, dass Deine Partialbruchzerlegung falsch ist.

03.03.2009, 16:17

California

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Polynomdivision?Komisch dachte es geht so ^^

ok dann nochmal...

03.03.2009, 16:56

Himbeer-Toni

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Ab 'A,B bestimmen' geht's schief.

Richtig wäre: 3x-7=A(x-2)+B(x-3)

03.03.2009, 18:27

Q-fLaDeN

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Anmerkung:
Die Partialbruchzerlegung funktioniert nur dann, wenn der Grad des Nenners größer als der Grad des Zählers ist.

03.03.2009, 19:52

Himbeer-Toni

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Anmerkung:
Die Partialbruchzerlegung funktioniert nur dann, wenn der Grad des Nenners größer als der Grad des Zählers ist.

Wieso sollte das so sein?

Ist denn etwa:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^2-12x+11}{x^2-5x+6}=3+\frac{2}{x-3}+\frac{1}{x-2} \end{eqnarray*}$

keine Partialbruchzerlegung?

03.03.2009, 19:57

Q-fLaDeN

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Entschuldigung, vllt. hab ich mich etwas undeutlich ausgedrückt. Ich meinte damit, dass der Ansatz $\begin{eqnarray*} \frac{3x^2-12x+11}{x^2-5x+6}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-2} \end{eqnarray*}$ hier nicht zum Ziel führt. Eben aufgrund der Nichterfüllung genannter Vorraussetzung.

03.03.2009, 20:16

Himbeer-Toni

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Mit dem Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^2-12x+11}{x^2-5x+6}=\frac{Ax+B}{x-3}+\frac{Cx+D}{x-2} \end{eqnarray*}$

landest Du dann aber (etwas mühsamer) bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x-3}+\frac{2x-3}{x-2}. \end{eqnarray*}$

04.03.2009, 12:28

California

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o man ich hoffe das ich es jetzt richtig habe :-( bin schon langsam echt am verzweifeln das ich sowas einfaches nicht hinbekomm...habs nochmal ab A,B bestimmen gemacht:

edit:nanu, ihr müsst das Bild anklicken, dann ist die Quali gut!

04.03.2009, 13:20

Himbeer-Toni

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Du solltest Die Antworten, die Du bekommst schon lesen..:

Zitat:

Original von Himbeer-Toni
Ab 'A,B bestimmen' geht's schief.

Richtig wäre: 3x-7=A(x-2)+B(x-3)

Ich hab absolut keine Ahnung wie Du auf den Ansatz 3x-7=A(x+2)+B(x+3) kommst. Aber so lange Du Dich davon nicht verabschiedest wird das nix.

04.03.2009, 13:26

mYthos

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@Himbeer-Toni

Dein Ansatz funktioniert zwar, aber dann hast du immer noch das Problem, die beiden Brüche zu integrieren (dann brauchst du dazu erst recht die Polynomdivision).
Besser ist also gleich zu Anfang das Abspalten des ganzrationalen Polynomes.

@California

Die 3 haben als Faktor vor dem Integral nichts verloren, 3 ist der ganzzahlige Teil des Polynomes und ein Summand. Beim Integrieren schreibst du die beiden Brüche entweder in eine Klammer oder du setzt vor jeden Bruch das Integralzeichen.

So. Zuletzt hast du noch Rechenfehler bei der Berechnung von A, B. Normalerweise macht man dies mit einem Koeffizientenvergleich, aber auch die - recht nette - Methode mittels Einsetzen von x-Werten würde funktionieren, wenn man nur richtig rechnet. Bereits dein Ansatz ist falsch, denn dieser muss so aussehen:

$\begin{eqnarray*} A(x-2) + B(x-3) = 3x - 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 3: \ 2 = \ A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 2: -1 = -B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Wie geht's nun weiter?

mY+

04.03.2009, 14:16

Himbeer-Toni

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Zitat:

Original von mYthos
@Himbeer-Toni

Dein Ansatz funktioniert zwar, aber dann hast du immer noch das Problem, die beiden Brüche zu integrieren (dann brauchst du dazu erst recht die Polynomdivision).
Besser ist also gleich zu Anfang das Abspalten des ganzrationalen Polynomes.

@mYthos

Falls Du mit 'Dein Ansatz' folgendes: $\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x-3}+\frac{2x-3}{x-2} \end{eqnarray*}$ gemeint haben solltest.

Das war eigentlich nur als Reaktion auf diese Aussage gemeint:

Zitat:

Anmerkung:
Die Partialbruchzerlegung funktioniert nur dann, wenn der Grad des Nenners größer als der Grad des Zählers ist.

Allerdings geht's so:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x-3}+\frac{2x-3}{x-2}=\frac{x-3+2}{x-3}+\frac{2x-4+1}{x-2}=1+\frac{2}{x-3}+2+\frac{1}{x-2} \end{eqnarray*}$

auch ohne Polynomdivision weiter. Aber wie schon gesagt - mühsamer! Augenzwinkern

04.03.2009, 14:41

California

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o man, erstmal danke an euch, dass ihr so viel Geduld mit mir habt...meine derzeitiege Unfähigkeit liegt vll an meinem kürzlich gebrochenen Fuß und an den Schmerzmitteln...aber hilft nichts; Klausuren schreiben muss ich dennoch.Hab jetzt nochmal was angehangen...das sollte so stimmen?

Danke nochmal

04.03.2009, 14:49

mYthos

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Ich habe A = 2 !
Und sag mal, WIE integrierst du dann die Brüche??

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x - 2} \end{eqnarray*}$ kannst du doch nicht in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ auftrennen!

Wo kommen dann die 3 und 5/6 her? Du sollst jeden Bruch einzeln integrieren!

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{2}{x-3}~\dd x = 2 \int~\frac{1}{x - 3}~\dd x = 2 \ln [ ..] \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

04.03.2009, 14:57

California

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ja stimmt A=2;

ok hab mich verhaun beim integrieren, hab jetzt alles verstanden!Ach ja, die erst 3 stimmt aber, oder?Die ist ja noch von der Polynomd.

Lg

04.03.2009, 15:02

mYthos

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Ja, klar. Die erste 3 bleibt, diese musst du aber auch integrieren, das ergibt?

mY+

04.03.2009, 15:09

California

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3 x ;-)

04.03.2009, 15:31

mYthos

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