Matrizenrechnung

03.03.2009, 17:40

Eschek

Matrizenrechnung

Hallo,
lern gerade für meine HM2 Klausur und komm bei 2 Aufgaben nicht weiter, vllt. weiß ja einer in Board was. Also los gehts:

Aufgabe 1: Gegeben sei eine (n,n) - (bzw. n x n -) Matrix A mit A² - 7A + E = 0, wobei E die (n,n) - Einheitsmatrix ist. Entscheiden Sie, ob 1 ein Eigenwert von A ist, indem Sie zunächst nachweisen, dass det A = 0 genau dann gilt, wenn det(A-E) = 0 gilt.

Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix A. A=[5,2,-3;0,2,0;0,0,2]
Die Eigenwerte hab ich die sind 5 und 2.
wenn ich jetzt 5 einsetzte komm ich auf die Matrix [0,2,-3;0,-3,0;0,0,-3] nach Gaußschen eleminationsverfahren komm ich auf [0,6,-9;0,0,0;0,0,0] und wie komm ich jetzt auf meinen Eigenvektor.

Ich hof ma ich hab das Verständlich hingeschrieben.
Im Vorraus schon ma dankeschön für die Hilfe Freude

04.03.2009, 14:34

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1: Rechne mal $\begin{eqnarray*} (A-E)^2 \end{eqnarray*}$ aus und nutze die gegebene Gleichung.

05.03.2009, 15:09

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm.. könntest du mir den rechenweg konkret aufschreiben?

05.03.2009, 15:26

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich kann aber Tipps geben.

$\begin{eqnarray*} (A-E)^2=A^2-2A+E \end{eqnarray*}$ .

Was ist nun $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung?

06.03.2009, 00:34

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

A² = E? dann wäre die Gleichung = 0?

06.03.2009, 01:18

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

Oder meinste jetzt das A² jetzt größer 0 ist und die 1 dann drin liegt?

06.03.2009, 12:04

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ ist eine Matrix, die kann nicht kleiner oder größer als Null sein. Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} A^2-7A+E=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} A^2=7A-E \end{eqnarray*}$ und das sollst du einfach nur einsetzen.

06.03.2009, 16:56

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

wo sol ich das den einsetzen? In det(A-E)=0? Komm mit der Aufgabe gar nicht zurecht :-(

06.03.2009, 17:41

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (A-E)^2=A^2-2A+E=7A-E-2A+E=5A \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt

$\begin{eqnarray*} (\det(A-E))^2=\det\left((A-E)^2\right)=det(5A)=5^n\det(A) \end{eqnarray*}$ .

Also gilt $\begin{eqnarray*} \det(A-E)=0\Leftrightarrow \det(A)=0 \end{eqnarray*}$ .

06.03.2009, 23:39

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

dankeschön Augenzwinkern

zu Aufgabe 2, kannste mir noch sagen wie ich von Eigenwerten 2 und 5 auf meinen Eigenvektor komme?hab das probiert aber funzt nicht ...

07.03.2009, 14:06

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Finde linear unabhängige Lösungen der Gleichungssysteme $\begin{eqnarray*} (A-2E)x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A-5E)x=0 \end{eqnarray*}$ mithilfe des Gauß-Algorithmus'.

07.03.2009, 14:25

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

für landa = 5

hab die Matrix [0,2,-3;0,-3,0;0,0,-3] nach gaußschen eleminationsverfahren komm ich auf [0,2,-3;0,0,-9;0,0,0] somit ergibt sich

I) 2y - 3z =0
II) -9y = 0

also komm ich doch im endeffekt auf meinen Einheitsvektor (0,0,0)?

07.03.2009, 15:39

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Buchstabe nennt sich "lambda". Die Matrix ist korrekt. Das zugehörige Gleichungssystem ist dann aber $\begin{eqnarray*} 2y-3z=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -9z=0 \end{eqnarray*}$ .

Weiterhin ist $\begin{eqnarray*} (0,0,0) \end{eqnarray*}$ kein Einheitsvektor! Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit der Länge Eins! Außerdem ist das nicht die einzige Lösung. Warum muss denn $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ sein?

07.03.2009, 20:18

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ist der einheitsverktor dann z.b. alpha*(1,0,0)?

08.03.2009, 11:53

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Was für Einheitsvektoren meinst du denn? Meinst du nicht eher Eigenvektoren? Und ja, $\begin{eqnarray*} (1,0,0) \end{eqnarray*}$ ist ein Eigenvektor, aber $\begin{eqnarray*} \alpha\cdot (1,0,0) \end{eqnarray*}$ ist nicht der Eigenvektor, sondern das sind alle Eigenvektoren, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die reellen Zahlen durchläuft.

08.03.2009, 14:24

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

Oje, entschuldigung mein Fehler, mein Eigenvektor.
Ok dann hätte ich den Eigenvektor für lambda = 5. Für lambda = 2 würde für mich die Matrix wie folgt aussehen [3,2,-3;0,0,0;0,0,0].
Somit hätte ich die Gleichung
2x + 2y - 3z = 0
und daraus würde folgen das es 3 allgemeine Eigenvektoren gibt und zwar

alpha(1,0,1)

alpha(2,-3,0)

alpha(0,2,3)

ja alpha durchläuft alle reelen Zahlen durch

08.03.2009, 14:31

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

Du, hab jetzt mal die Aufgabe 1 nochmal gerechnet und mir stellt sich die Frage ob 1 ein Eigenwert von A ist. Kann ich das irgentwie auch beweisen?

08.03.2009, 22:15

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre Eins ein Eigenwert, dann wäre auch Null einer, also $\begin{eqnarray*} \det A=0 \end{eqnarray*}$ . Das kann aber nicht sein, weil $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nach der gegebenen Gleichung invertierbar ist (warum?).

Eine Gleichung mit drei Variablen kann nicht drei lineare unabhängige Lösungen besitzen. Du hast ja außerdem schon einen Eigenvektor zum Eigenwert Fünf, dann kann es nicht noch drei linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert Zwei geben, sondern nur genau zwei. Anscheinend hast du dich beim Lösen der Gleichung auch total verrechnet. Keiner der von dir angegebenen Vektoren ist eine Lösung der Gleichung, was man einfach durch Einsetzen sieht.

08.03.2009, 23:02

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte wenn det(A) = 0 ist, dann ist die Matrix nicht inventierbar.

Entschuldie das soll nich heißen 2x + 2y - 3z = 0
sondern 3x + 2y - 3z = 0.

Ok ich kann nur 2 Eigenvektoren haben und in meiner Rechnung insgesamt 3, weil ich ja drei lambda's habe lambda1 = 5 und lambda2/3 = 2.
Hab ich zwangsläufig immer immer soviel Eigenvektoren wie Eigenwerte?
Habe auch überhaupt keine Ahnung, wie die 2 Eigenvektoren jetzt aus sehen sollen.

09.03.2009, 12:04

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Eschek
Ich dachte wenn det(A) = 0 ist, dann ist die Matrix nicht inventierbar.

Ich habe nirgendwo das Gegenteil behauptet. Ich habe gesagt: Wäre Eins ein Eigenwert, dann auch Null (das haben wir nachgerechnet), also wäre $\begin{eqnarray*} \det A=0 \end{eqnarray*}$ . Das kann aber nicht sein, weil $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ invertierbar ist. Oder anders: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist invertierbar, also ist $\begin{eqnarray*} \det A\neq 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \det(A-E)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , also Eins kein Eigenwert.

Es gibt immer genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (komplexe) Eigenwerte (mit Vielfachheiten!). Man hat meistens weniger linear unabhängige Eigenvektoren, da noch "höhere Eigenvektoren", sogenannte Hauptvektoren dazu kommen. Alle linear unabhängigen zusammen bilden dann eine Basis, das sollte aber eigentlich auch in der Vorlesung dran gewesen sein. Es gibt also höchstens $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ linear unabhängige Eigenvektoren, mehr kann es aber ganz sicher nicht geben. Und wenn man genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hat, dann bilden die natürlich auch eine Basis des Vektorraums.

Du wirst doch für eine lineare homogene Gleichung sicher noch eine Basis des Lösungsraums bestimmen kann, das sollte man nach einer LA1-Vorlesung drauf haben. Die obigen Vektoren sind für das jetzige Gleichungssystem korrekt, bis auf den letzten, der sollte $\begin{eqnarray*} (0,3,2) \end{eqnarray*}$ sein. Dann sind die aber nicht linear unabhängig, denn es ist

$\begin{eqnarray*} (2,-3,0)+(0,3,2)-2\cdot (1,0,1)=(0,0,0) \end{eqnarray*}$ .

Du kannst dir aber irgendwelche zwei der drei Vektoren nehmen und die sind dann natürlich linear unabhängig, was man ja sofort sieht. Der von diesen beiden Vektoren aufgespannte Untervektorraum ist dann gerade der Untervektorraum aller Eigenvektoren zum Eigenwert Zwei.

09.03.2009, 23:08

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar,

ich bedank mich recht herzlich bei dir für die gute Hilfe und für die Mühe die du dir gemacht hast.

Dankeschön =)

Lg Eschek

10.03.2009, 11:17

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du dir eigentlich überlegt, warum $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ invertierbar sein muss?

10.03.2009, 11:38

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

nicht wirklich, warum denn?

10.03.2009, 13:41

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} A^2-7A+E=0\Rightarrow E=7A-A^2=A\cdot (7-A) \end{eqnarray*}$ .

Also ist $\begin{eqnarray*} 7-A \end{eqnarray*}$ die Inverse zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist invertierbar.

10.03.2009, 18:09

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

wenn ich jetzt die (n,n)-Matrix A = 4A² +2A-E=0
und wieder begründen soll das det (A) = 0 ist, wenn det (A-E) =0 ist.

Dann gehe ich wieder so vor wie du mir es gezeigt hast, aber ich hab da ein Problem:

(A-E)² = A²-2A+E = -0.5A + 1/4E -2A + E = -2.5A + 1,25E

Dann verschwindet das E nicht aus der Gleichung und ich kann meine Behauptung nicht beweisen :-(

2) Was ist wenn det(A) = 5^(-n/2) = det (A-E) gilt. Wie beweis ich den das?

10.03.2009, 18:35

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Eschek
wenn ich jetzt die (n,n)-Matrix A = 4A² +2A-E=0

$\begin{eqnarray*} A=4A^2+2A-E=0 \end{eqnarray*}$ ist sicher nicht die Gleichung, die du meinst. Du meinst wahrscheinlich eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 4A^2+2A-E=0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Eschek
und wieder begründen soll das det (A) = 0 ist, wenn det (A-E) =0 ist.

In diesem Fall kann man obigen Trick nicht anwenden, weil diesmal eine Vier vor $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ und keine Eins steht. Man kann eben nicht immer alles stur übertragen und nach gleichen Schemata herangehen. Man muss sich desöfteren auch andere Argumente ausdenken. Wenn man das gleiche Schema anwendet, bekommt man diesmal eben raus, dass $\begin{eqnarray*} \det A=0 \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \det\left(A-\frac{1}{2}E\right)=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von Eschek
2) Was ist wenn det(A) = 5^(-n/2) = det (A-E) gilt. Wie beweis ich den das?

Diese Frage verstehe ich nicht. Auf welche Aufgabe ist die bezogen? In welchem Zusammenhang meinst du diese Gleichung?

10.03.2009, 18:57

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist folgende,

Eine (n,n)-Matrix A genüge der Gleichung 4A² + 2A - E =0 wobei E die (n,n) - Einheitsmatrix ist. Begründen Sie, ob

(1) det A = 5^-(n/2) det(A-E) gilt,
(2) det A = 0 genau dann gilt, wenn det(A-E) = 0
(3)für x element R^n mit Ax = x und 4A²x + 2Ax - Ex = 0 stets x=0 gilt,
(4) 1 kein Eigenwert von A ist,
(5) A^-1 existiert und A^-1 = 2*(2A+E) gilt.

Ja, was für einen Trick würde es den im Aufgabenteil 2 geben?

10.03.2009, 19:24

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt

$\begin{eqnarray*} 5^n\cdot(\det A)^2=5^n\cdot \det A\det A=\det(5A)\det A=\det\left(5A^2\right)=\det\left(A^2+4A^2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\det\left(A^2+E-2A\right)=\det\left((A-E)^2\right)=(\det(A-E))^2 \end{eqnarray*}$ .

Durch Wurzelziehen erhält man

$\begin{eqnarray*} 5^{\frac{n}{2}}|\det A|=|\det(A-E)| \end{eqnarray*}$ .

Die Beträge kann man meiner Meinung nach nicht weglassen. Damit sollten die anderen Teilaufgaben machbar sein.

12.03.2009, 00:08

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

Also Teilaufgabe (2) kann ich beweisen indem ich deine Lösung von (1) einfach umgekehrt hinschreibe:

(det(A-E))²=det(A-E)²=det(A²+E-2A) = det(A²+4A²)=det(5A²)=det(5A)*det(A)=5^n*det(A)*det(A)=5^n*(det(A))²

(3) hab ich keine Ahnung wenn ich ehrlich sein soll.

(4) Kann man ja argumentieren wie in der vorherigen Aufgabe:
Wäre det(A) = 1 dann wäre auch det(A) = 0, dies kann aber nicht sein, weil A inventierbar ist und somit ungleich 0.
4A²+2A-E=0 --> E=4A²+2A --> E=A(4A+2).

(5) Diese Teilaufgabe versteh ich nicht ganz. Ich dachte eine Inverse bestimm ich wie in 4. aber das Ergebnis ist ja A^-1 = 2*(2A+E)?

12.03.2009, 00:34

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Eschek
Also Teilaufgabe (2) kann ich beweisen indem ich deine Lösung von (1) einfach umgekehrt hinschreibe:

(det(A-E))²=det(A-E)²=det(A²+E-2A) = det(A²+4A²)=det(5A²)=det(5A)*det(A)=5^n*det(A)*det(A)=5^n*(det(A))²

Warum schreibst du das nochmal hin? Die Gleichung, die ich oben hingeschrieben habe, zeigt es doch schon, weil $\begin{eqnarray*} 5^{\frac{n}{2}}\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von Eschek
(3) hab ich keine Ahnung wenn ich ehrlich sein soll.

Sei $\begin{eqnarray*} Ax=x \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} 0=0x=\left(4A^2+2A-E\right)x=4A\cdot Ax+2Ax-Ex=4Ax+2x-x=4x+2x-x=5x \end{eqnarray*}$ ,

also $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

4. ist zwar richtig, du sollst diese Teilaufgabe aber wahrscheinlich mithilfe von 3. lösen. Allerdings ergibt der Term $\begin{eqnarray*} 4A+2 \end{eqnarray*}$ keinen Sinn - addierst zu einer Matrix eine Zahl? Bei Matrizen muss man beim Ausklammern eben dann immer die Einheitsmatrix mitschleppen. Und dementsprechend muss es $\begin{eqnarray*} 4A+2E \end{eqnarray*}$ heißen. Damit wirst du sicher auch 5. lösen können, denn $\begin{eqnarray*} 4A+2E=2\cdot (2A+E) \end{eqnarray*}$ ist trivial.

12.03.2009, 00:54

Eschek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok die 3 ist jetzt verständlich. Nur warum wird aus -Ex = -x ?
Ich dachte es gilt nur Ax=x?
Aus deiner Behauptung folgt doch A=E?

Aber was du unter (4) meinst versteh ich nicht ganz.

"4. ist zwar richtig, du sollst diese Teilaufgabe aber wahrscheinlich mithilfe von 3. lösen. Allerdings ergibt der Term $\begin{eqnarray*} 4A+2 \end{eqnarray*}$ keinen Sinn - addierst zu einer Matrix eine Zahl?"

Welche Zahl?

4A²+2A-E=0 --> E=4A²+2A --> E=A(4A+2) ?

12.03.2009, 19:32

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Eschek
Ok die 3 ist jetzt verständlich. Nur warum wird aus -Ex = -x ?

$\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ist die Einheitsmatrix und Multiplikation der Einheitsmatrix mit einer beliebigen anderen Matrix, insbesondere also auch mit einem Vektor, verändert nichts.

Zitat:

Original von Eschek
Ich dachte es gilt nur Ax=x?
Aus deiner Behauptung folgt doch A=E?

Nein, so ein Quatsch. Du hast anscheinend die Grundlagen der Matrizenrechnung noch nicht verstanden. Bei der Matrixmultiplikation darf man nicht kürzen, da können bei verschiedenen Faktoren gleiche Ergebnisse rauskommen. Wie willst du hier auch kürzen? $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist ein Vektor und ein Vektor hat kein Inverses bezüglich der Matrixmultiplikation.

Zitat:

Original von Eschek
Aber was du unter (4) meinst versteh ich nicht ganz.

[...]

Welche Zahl?

4A²+2A-E=0 --> E=4A²+2A --> E=A(4A+2) ?

Das liegt wohl daran, dass du die Matrizenrechnung noch nicht verstehst. Ich mache mal ein Beispiel, damit du siehst, was ich meine. Du hast ja behauptet, dass $\begin{eqnarray*} 4A+2 \end{eqnarray*}$ das Inverse von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sei. Es müsste also auch eine Matrix sein. Wenn man aber z.B.

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hat, dann würde $\begin{eqnarray*} 4A+2 \end{eqnarray*}$ folgendes bedeuten:

$\begin{eqnarray*} 4A+2=4\cdot\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}+2=\begin{pmatrix} 16 & -12 \\ 20 & 4 \end{pmatrix}+2 \end{eqnarray*}$ .

Und was soll das nun sein? Du kannst zu einer Matrix nunmal keine Zahl dazu addieren, das geht nicht. Deswegen wäre $\begin{eqnarray*} 4A+2E \end{eqnarray*}$ richtig:

$\begin{eqnarray*} 4A+2E=4\cdot\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 16 & -12 \\ 20 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18 & -12 \\ 20 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Matrizenrechnung

Verwandte Themen