Schreibweise: Gesucht Element einer Menge mit Eigenschaft...

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info_stud Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibweise: Gesucht Element einer Menge mit Eigenschaft...
Hallo,

ich suche eine gute mathematische Schreibweise für folgendes Problem.

Zunächst ist das hier gegeben:

Sei Z ein Tupel mit (a, b, c), wobei a A, b und c .

Außerdem sei eine Menge mit gegeben.
Diese Menge soll als bezeichnet werden.

Unterfrage 1: wie schreibe ich das kürzer? Darf ich so?
mit

Hauptfrage
Was ich jetzt mathematisch formulieren will:
sei nun gleich dem Element aus , welches einen Wert von 10 als b hat. Falls dies nicht exisitert, sei

Unterfrage 2:
Wie müsste ich das ändern, wenn das Element aus der Menge sein soll, welches das kleinste b hat?

Hinweise:
Sonstige Hinweise, z.B. wenn man irgendwelche Mengen immer mit Groß- oder Kleinbuchstaben schreiben sollte, etc. sind auch herzlich willkommen.

Gruß und danke,
Michl
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schreibweise: Gesucht Element einer Menge mit Eigenschaft...
Hallo,

Zitat:
Original von info_stud

Außerdem sei eine Menge mit gegeben.


Das ergibt keinen Sinn. Z ist doch ein Tripel. Was soll dann Z^n sein? Allgemein definiert man ja für eine Menge M:



Aber was das kartesische Produkt eines n-Tupels sein soll, ist zumindest mir unklar. Eventuell meinst Du:



Das wäre die Menge mit dem n-Tupel aus n Komponenten (a, b, c).

Aber dann ergibt



keinen Sinn, denn {Z}^n hat ja nur ein einziges Element. Bitte klarstellen.


Das Symbol habe ich noch nie gesehen. Für die Menge aller positiven ganzen Zahlen (1, 2, ...) schreibt man (natürliche Zahlen ohne 0)



Zitat:
Original von info_stud

Unterfrage 1: wie schreibe ich das kürzer? Darf ich so?
mit


Abgesehen von den Unklarheiten: Natürlich darfst Du ein Objekt a in der Form „a := ...“ definieren.



Zitat:
Original von info_stud

Hauptfrage
Was ich jetzt mathematisch formulieren will:
sei nun gleich dem Element aus , welches einen Wert von 10 als b hat. Falls dies nicht exisitert, sei


Einen Ausdruck für „undefiniert“ gibt es in der Mathematik nicht, glaube ich. Aber kannst Du nicht einfach ein sonst unbenutztes Objekt dafür nehmen? Z. B. die leere Menge.

Das z_find kannst Du dann so definieren:





Wirklich helfen kann man Dir natürlich erst, wenn Du was zu den Unklarheiten sagst und noch genauer beschreibst -- am besten einfach in Worten --, worum es geht. Also was für eine Menge willst Du bilden? Was soll dann passieren? u. s. w.



// edit: Und wenn ich noch was Böses sagen darf: Du legst, Deinen anderen Beiträgen nach zu urteilen, extrem viel Wert auf formale „Korrektheit“ und achtest noch auf das letzte Detail. Aber im Endeffekt wäre das, was Du eigentlich sagen willst, wahrscheinlich leichter zu verstehen gewesen, wenn Du es „salopp“ formuliert hättest, also z. B. auch mal in der Umgangssprache. Da würde ich mich schon fragen: Hast Du die Prioritäten richtig gesetzt? Denn die Formelsprache ist doch sowieso nur Mittel zum Zweck. ;-)
 
 
info_stud Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber was das kartesische Produkt eines n-Tupels sein soll, ist zumindest mir unklar. Eventuell meinst Du:



Also zunächst: ja, ich glaube, sows meine ich. Da habe ich dummerweise angenommen, man könnte das einfach so mit Tupeln machen. Ich bin da von funktionalen Programmiersprachen wie Haskell etwas geschädigt, sorry.

[Edit] (Folgendes bitte nicht mehr beachten... mir wurde bewusst, dass ich Schmarrn geschrieben habe... soll eine Liste sein, und genau das ist bei der Fall.)

Weitere Frage:



eigentlich wollte ich ja auf diese Menge hinaus (also ohne die Runden Klammern außen rum):



[/Edit]

In einfachen Worten: soll eine Liste aus Tupeln sein.

Zitat:
Das Symbol habe ich noch nie gesehen.


Danke für den Hinweis, ich werde dann das "bekanntere" Symbol verwenden. Aber zumindest die Wikipedia listet das von mir verwendete Symbol als "gebräuchlich".

Zitat:
Einen Ausdruck für „undefiniert“ gibt es in der Mathematik nicht, glaube ich.


Da hast du vermutlich Recht, aber das nehme ich in Kauf. In der Informatik habe ich solche Spielereien bei Formeln schon ab und an gesehen. Jedenfalls wirkt in meinen Augen nicht zulässig, da und daher keine Menge.

Ich hoffe, dass die Unklarheiten beseitig sind. Ich suche jedenfalls (in einfachen Worten) immer noch:

Hauptfrage
Was ich jetzt mathematisch formulieren will:
sei nun gleich dem Element aus , welches einen Wert von 10 als b hat. Falls dies nicht exisitert, sei

Zitat:
// edit: Und wenn ich noch was Böses sagen darf: Du legst, Deinen anderen Beiträgen nach zu urteilen, extrem viel Wert auf formale „Korrektheit“ und achtest noch auf das letzte Detail. Aber im Endeffekt wäre das, was Du eigentlich sagen willst, wahrscheinlich leichter zu verstehen gewesen, wenn Du es „salopp“ formuliert hättest, also z. B. auch mal in der Umgangssprache. Da würde ich mich schon fragen: Hast Du die Prioritäten richtig gesetzt? Denn die Formelsprache ist doch sowieso nur Mittel zum Zweck. ;-)


Böse ist es, weil unfair ;-)
Ich weiß, dass ich es "hinschreiben" kann und es vermutlich einfacher ist. Vermutlich (!)
Aber nur weil ich nicht auf Anhieb auf die Lösung komme, heißt es für mich aber noch lange nicht, dass es keine einfache und leicht verständliche Lösung gibt. Ich will sie daher erst einmal sehen, um anschließend entscheiden zu können.
Außerdem will ich dazulernen...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
Das Symbol habe ich noch nie gesehen. Für die Menge aller positiven ganzen Zahlen (1, 2, ...) schreibt man (natürliche Zahlen ohne 0)

Das wiederum kenne ich anders. ist mit der Multiplikation ein Monoid und bezeichnet dann in der Regel die bezüglich dieser Verknüpfung invertierbaren Elemente, also in diesem Falle .
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Symbol :

Ich kenne das folgende „System“: Wenn Z eine Zahlenmenge ist, dann gilt


(ohne 0)


(nichtnegativ)


(nichtpositiv)


(positiv)


(negativ)

Das wird auch so z. B. in Analysis I von Fischer benutzt. Gegen das Symbol für die positiven (!) natürlichen Zahlen spricht ja nichts, bei Wikipedia ist das auch angegeben. Nur wenn das Zeichen nicht auch in ein „System“ wie das obige eingebunden ist, dann gibt es vielleicht eine gewisse Mehrdeutigkeit: Steht das + jetzt für positiv oder nichtnegativ?

Noch besser sind vielleicht Symbole wie

u. s. w.



Zitat:
Original von info_stud

In einfachen Worten: soll eine Liste aus Tupeln sein.


Mir ist Folgendes noch unklar:

Du willst später aus z_M ein bestimmtes Element auswählen. Das ergibt irgendwie keinen Sinn, da z_M sowieso nur ein einziges Element hat (das n-Tupel). Kann es sein, dass Du in Wahrheit Komponenten aus dem n-Tupel auswählen willst? Dann wäre aber auch nicht ganz plausibel, weil ja alle Komponenten des n-Tupels identisch sind (nämlich Z).



Zitat:
Original von info_stud

Da hast du vermutlich Recht, aber das nehme ich in Kauf. In der Informatik habe ich solche Spielereien bei Formeln schon ab und an gesehen. Jedenfalls wirkt in meinen Augen nicht zulässig, da und daher keine Menge.


Aber „undefiniert“ ist nicht einmal ein Objekt und erst Recht kein Element von Z. Insofern finde ich die Festlegung mit der leeren Menge zumindest mathematisch sinnvoller – wie es in der Informatik aussieht, weiß ich leider nicht.



Hauptfrage
Was ich jetzt mathematisch formulieren will:
sei nun gleich dem Element aus , welches einen Wert von 10 als b hat. Falls dies nicht exisitert, sei [/quote]

Hm, das klingt, wie gesagt, als sollte x_M doch aus mehr als einem Element bestehen, und das ist bei z_M := {Z}^n eben einfach nicht der Fall.

Vielleicht kann jemand anderes hier weiterhelfen, der besser auf die „Informatik-Seite“ eingehen kann. ;-)
info_stud Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich bin schon richtig hier... schließlich können mir nur Mathematiker sagen, dass meine mathematische Schreibweise Unsinn ist Augenzwinkern

Zitat:
Mir ist Folgendes noch unklar:

Du willst später aus z_M ein bestimmtes Element auswählen. Das ergibt irgendwie keinen Sinn, da z_M sowieso nur ein einziges Element hat (das n-Tupel). Kann es sein, dass Du in Wahrheit Komponenten aus dem n-Tupel auswählen willst? Dann wäre aber auch nicht ganz plausibel, weil ja alle Komponenten des n-Tupels identisch sind (nämlich Z).


Ja, es wäre dann ein n-Tupel aus 3-er Tupeln (nämlich Z).

Wie auch immer... ich habe eben mehrere dieser Z. Davon will ich ein bestimmtes auswählen.

Wenn meine Schreibweise nicht stimmt, wie würde sie stimmen? Und wie könnte man anschließend schreiben, dass eben eine bestimmte Komponente gewählt wird?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von info_stud

Ja, es wäre dann ein n-Tupel aus 3-er Tupeln (nämlich Z).

Wie auch immer... ich habe eben mehrere dieser Z. Davon will ich ein bestimmtes auswählen.


OK, dann wird es klar. smile

Soll denn wirklich jede Komponente des n-Tupels dasselbe Tripel Z sein? Also z. B. bei Z = (1, 2, 3) und n = 4 erhieltest Du



Was bringt da die Auswahl eines Tripels, wenn sowieso alle identisch sind?


Sollen die Z-Tripel eventuell doch unterschiedlich sein? Also soll z_M auch eine Menge wie {((1, 2, 3), (4, 10, 1), (4, 6, 9))} sein können? Wenn ja, dann müsstest Du das z. B. so schreiben:



Und dann z_M folgendermaßen definieren:



Wobei ich mir überlegen würde, ob Du überhaupt eine Menge mit dem n-Tupel bilden musst? Reicht das n-Tupel allein nicht aus?


Zu dem „Z = (a, b, c) gegen Z_i = (a_i, b_i, c_i)“ noch: Da gleich bezeichnete Variablen auch als gleich angesehen werden, würdest Du mit der Definition Z = (a, b, c) nur ein einziges Tripel festlegen. Also Du kannst a, b und c nur mit jeweils einer einzigen Zahl belegen.

Bei der Definition Z_i = (a_i, b_i, c_i) kannst Du dagegen verschiedene Tripel bilden, also z. B. kann Z_1 = (4, 5, 6) sein und Z_2 = (6, 7, 9)



Zitat:
Original von info_stud

Wenn meine Schreibweise nicht stimmt, wie würde sie stimmen? Und wie könnte man anschließend schreiben, dass eben eine bestimmte Komponente gewählt wird?


Wenn Du die obige Definition mit dem Index „i“ benutzt, könntest Du schreiben:



Dabei definiert man alpha als diejenige Komponente des n-Tupels, deren zweite Komponente (b_i) 10 ist:



(das :<=> bedeutet „gilt nach Definition genau dann“ bzw. „ist nach Definition gleichwertig mit“)



Ich weiß nicht, ob es noch einen einfacheren Ansatz gibt, aber der obige müsste funktionieren.


// edit: Die Auswahl funktioniert so doch nicht -- was ist, wenn es mehrere Tripel mit der zweiten Komponente 10 gibt? Dann ist ja keine eindeutige Auswahl mehr möglich.
info_stud Auf diesen Beitrag antworten »

Danke zunächst einmal für die ausführliche und kompetente Hilfe! Wenn es so weitergeht lerne ich die Sachen echt noch Big Laugh

Danke!

Zitat:
Original von Jacques
Sollen die Z-Tripel eventuell doch unterschiedlich sein?


Richtig smile

Zitat:
Original von Jacques



Ja, diese Definition war glaube ich der Knackpunkt... damit wird der Lösungsweg überhaupt erst möglich.

Zitat:
Original von Jacques


Dabei definiert man alpha als diejenige Komponente des n-Tupels, deren zweite Komponente (b_i) 10 ist:



(das :<=> bedeutet „gilt nach Definition genau dann“ bzw. „ist nach Definition gleichwertig mit“)


Also, vielen Dank, das hilft schon mal sehr weiter.
Bzgl. der Ausführung: Irgendwie gefällt mir das und dieses Zeichen nicht. Kann man das noch irgendwie kürzen oder anders definieren?

Ich versuche mal mit derselben Methode das Problem meiner "Unterfrage 2" zu formulieren (zur Erinnerung, es soll die Komponente mit einem minimalen bzw. jetzt gewählt werden):



Frage am Rande:
Warum verwenden wir und nicht .

Zitat:
Original von Jacques
// edit: Die Auswahl funktioniert so doch nicht -- was ist, wenn es mehrere Tripel mit der zweiten Komponente 10 gibt? Dann ist ja keine eindeutige Auswahl mehr möglich.


Ja, sowas kann durchaus passieren.
Man könnte an dieser Stelle zwei Fliegen mit einer Klappe schlagen: Mit soll einfach eine Menge (? oder was auch immer das dann wäre?) resultieren.

Damit wäre zum einen als Ergebnis genau richtig. Und zum anderen hätte man die Möglichkeit mehrere Komponenten als Ergebnis zu haben.

Aber welche Konsequenzen hätte das bzgl. unser bisherigen Definitionen? Ich stehe hier leider vollständig auf dem Schlauch, wie man das dann mit "Mengen" (?) schreiben müsste.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von info_stud

Also, vielen Dank, das hilft schon mal sehr weiter.
Bzgl. der Ausführung: Irgendwie gefällt mir das und dieses Zeichen nicht. Kann man das noch irgendwie kürzen oder anders definieren?


Nein, das glaube ich nicht. Sätze der Art „alpha ist die Komponente mit ...“ kann man ja nur als „ein Objekt x ist genau dann alpha, wenn x eine Komponente ist mit ...“ übersetzen.

Diese Definition ist auch vollkommen üblich -- siehe z. B. die Definition des Grenzwerts einer Folge.



Zitat:
Original von info_stud

Ich versuche mal mit derselben Methode das Problem meiner "Unterfrage 2" zu formulieren (zur Erinnerung, es soll die Komponente mit einem minimalen bzw. jetzt gewählt werden):



Freude

Du kannst das noch weglassen, denn das würdest Du nur brauchen, wenn Du anstelle von geschrieben hättest.

Sonst hättest Du die Definition auch mit der „min-Funktion“ etwas kürzer formulieren können:



Wobei es natürlich in jedem Fall das Problem gibt, dass eventuell gar keine eindeutige Auswahl möglich ist. Dann wäre die Definition widersprüchlich.



Zitat:
Original von info_stud

Frage am Rande:
Warum verwenden wir und nicht .


Ich finde das erste einfach optisch schöner, leichter zu erkennen und angenehmer zu lesen. Aber Du kannst natürlich auch das andere Zeichen nehmen. ;-)



Zitat:
Original von info_stud

Ja, sowas kann durchaus passieren.
Man könnte an dieser Stelle zwei Fliegen mit einer Klappe schlagen: Mit soll einfach eine Menge (? oder was auch immer das dann wäre?) resultieren.

Damit wäre zum einen als Ergebnis genau richtig. Und zum anderen hätte man die Möglichkeit mehrere Komponenten als Ergebnis zu haben.

Aber welche Konsequenzen hätte das bzgl. unser bisherigen Definitionen? Ich stehe hier leider vollständig auf dem Schlauch, wie man das dann mit "Mengen" (?) schreiben müsste.


Gute Idee. Freude

Dadurch würde man sogar die umständliche Definition mit dem loswerden – und der mit der leeren Menge ausgedrückte „undefiniert-Fall“ ergibt sich automatisch bei der allgemeinen Definition:



In z_find liegen genau die Tripel natürlicher Zahlen, die in z_M auftreten und die kleinste zweite Komponente haben. Die obige Definition bezieht sich natürlich auf die Unterfrage, aber wenn die zweite Komponente 10 sein soll, kannst Du das ja einfach umformulieren.


Eine Sache noch:

Du könntest z_m doch einfach als n-Tupel definieren, oder? Denn die Definition als Menge bringt ja nichts und macht das Objekt nur unnötig komplex.

Einfach:

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