Monotoniesatz |
| 04.03.2009, 14:54 | bojangles | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Monotoniesatz Kann mir jemand bei der Aufgabe weiterhelfen bzw. einen kleinen Denkanschubser geben? f'(x)=0 ist doch druch die Definition von streng monoton wachsenden Funktionen ausgeschlossen worden! Liebe Grüße |
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| 04.03.2009, 14:57 | bojangles | Auf diesen Beitrag antworten » |
ach, ich hatte mir so etwas ähnliches wie f(x)=x³ überlegt, nur mit zwei Sattelpunkten, aber das ist doch falsch, wenn an einer Stele f'(x)=0,wie soll man da von streng monotonem Wachstum sprechen?? |
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| 04.03.2009, 15:14 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Ableitung einer solchen Funktion hat 2 doppelte Nullstellen und ist sonst immer positiv. Z.b. (1/10 davor, damit die Funktion nicht so riesig wird und man sie schön im Plotter betrachten kann). Bestimme nun dazu eine Funktion f. |
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| 04.03.2009, 18:32 | bojangles | Auf diesen Beitrag antworten » |
Tut mir Leid, aber die Antwort hilft mir nicht wirklich weiter. Ich verstehe ja nicht einmal, wie eine streng monoton Steigende Funktion an irgendeiner Stelle überhaupt die Steigung Null haben darf. |
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| 04.03.2009, 18:45 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, Die Funktion f(x) = x³ war doch ein gutes Beispiel: f steigt streng monoton, und es gilt f'(0) = 3*0² = 0 Ansonsten hat tmo doch eigentlich alles erklärt: Man legt die Ableitung der Funktion so fest, dass sie durchgängig positiv ist (eine Funktion f steigt dann streng monoton, wenn f' nur positive Funktionswerte hat). Außerdem muss die Funktion genau zwei Sattelpunkte haben, also zwei Wendepunkte mit waagrechter Tangente. (sonst kann f'(x) = 0 ja nur bei Extrempunkten gelten, aber das ist ja ausgeschlossen, weil die Funktion dann nicht mehr streng monoton steigen würde). Wenn bei x0 ein Wendepunkt liegen soll, dann muss sowohl f'(x0) = 0 als auch f''(x0) = 0 gelten, d. h., x0 ist eine so genannte „doppelte Nullstelle“ von f'. Daraus folgt: Der zur Nullstelle x0 gehörende Linearfaktor x - x0 muss zweimal in der Linearfaktorzerlegung von f' auftreten. Und damit kannst Du dann eine Funktion wie die von tmo vorgeschlagene konstruieren. Wähle z. B. x = 2 und x = 4 als Stellen für die beiden Sattelpunkte. Dann wäre eine passende Funktion: |
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