Vereinfachen des Ergebnis einer Ableitung

04.03.2009, 17:53

Thomas1891

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Vereinfachen des Ergebnis einer Ableitung

Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Ich soll einen Bruch ableiten und vereinfachen. Die Ableitung ist
$\begin{eqnarray*} 4\sqrt{x} + (4x+2) * \frac{1}{2} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Das Ergebnis, das rauskommen soll ist folgendes:
$\begin{eqnarray*} 6\sqrt{x} + \frac{1}{} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Wie kann ich den Bruch erweitern/kürzen/vereinfachen, damit das Ergebnis rauskommt?
Würde mich über antwort freuen
Gruß
Thomas

04.03.2009, 18:00

Thomas1891

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RE: Vereinfachen des Ergebnis einer Ableitung
Noch ne kurze anmerkung: Bei dem oberen Bruch steht das $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ neben der 2; also unter dem Bruchstrich.
Bei dem unteren bruch steht das $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ auch unter dem bruchstrich

04.03.2009, 18:05

Jacques

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Hallo,

Löse bei Deinem Ergebnis die Klammer auf und benutze die Potenzgesetze. smile

smile

04.03.2009, 18:11

Thomas 1891

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Hallo,
erstmal danke für die Antwort.
Wenn ich die Klammer auflöse, komme ich irgendwie trotzdem nicht auf das Ergebnis. Was mache ich falsch? verwirrt

verwirrt

04.03.2009, 18:13

Jacques

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Was hast Du denn bisher gemacht?

04.03.2009, 18:16

Thomas1891

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du hast doch sicher gemeint die klammer mit dem 1/2 auflösen oder?

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04.03.2009, 18:17

Jacques

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Ja genau, die Klammer bei

$\begin{eqnarray*} (4x+2) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

soll aufgelöst werden. Schreibe Deine Rechnungen einfach in den Thread.

04.03.2009, 18:20

Thomas1891

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Ich hab die Klammer aufgelöst mit dem 1/2:

$\begin{eqnarray*} 4\sqrt{x} + 2x + 1 * \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

04.03.2009, 18:22

Jacques

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Ich dachte, das wurzel(x) steht im Nenner des Bruchs? verwirrt

verwirrt

Das muss auch so sein, denn sonst sind die beiden Terme gar nicht identisch.

Nur nochmal zur Klarstellung:

Dein Ergebnis ist

$\begin{eqnarray*} 4\sqrt{x} + (4x+2) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Die Musterlösung lautet

$\begin{eqnarray*} 6\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

04.03.2009, 18:24

Thomas1891

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ja genau das stimmt

04.03.2009, 18:26

Thomas1891

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ich weiß jetzt ehrlich gesagt nicht, mit was ich die Klammer auflösen soll

04.03.2009, 18:27

Jacques

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Ja, aber dann stimmt Deine Rechnung eben nicht, denn Du hast so getan, als würde wurzel(x) im Zähler stehen.

Bitte mache die Rechnung nochmal mit dem korrekten Ausgangsterm:

Bei

$\begin{eqnarray*} 4\sqrt{x} + (4x+2) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

soll die Klammer aufgelöst werden. Was kommt heraus?

04.03.2009, 18:32

Thomas1891

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sry ich stand auf der Leitung:

$\begin{eqnarray*} \frac{4x}{(2} \sqrt{x}) * \frac{2}{2 \sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

04.03.2009, 18:34

thomas1891

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mh und jetzt? verwirrt

verwirrt

04.03.2009, 18:35

Jacques

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Du meintest sicherlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{4x}{2 \sqrt{x}} + \frac{2}{2 \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Den Multiplikationspunkt schreibt man übrigens mit \cdot

Jetzt kürzt Du die beiden Brüche einfach. Was ist

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

? Schreibe die Wurzel als Potenz von x und wende dann die Potenzgesetze an.

04.03.2009, 18:42

thomas1891

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[latex[ 4\sqrt{x} + \frac{2x}{ \sqrt{x} } + \frac{1}{ \sqrt{x} } [/latex]

04.03.2009, 18:43

thoma1891

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$\begin{eqnarray*} 4\sqrt{x} + \frac{2x}{ \sqrt{x} } + \frac{1}{ \sqrt{x} } \end{eqnarray*}$
sry hatte Vorschau vergessen :-)

04.03.2009, 18:47

Jacques

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Das Ergebnis stimmt. Freude

Freude

Aber Du hast die zweite Frage nicht beantwortet:

Was ist

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

?

Den mittleren Bruch kannst Du eben noch weiter kürzen.

04.03.2009, 18:51

thomas1891

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Ich hab keine Ahnung was bei dem bruch rauskommt

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

und wie kann ich den noch weiter kürzen?
entweder stehe ich jetzt auf der Leitung oderich bin so blöd... traurig

traurig

04.03.2009, 18:57

Jacques

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Ich habe es Dir gerade gesagt: unglücklich

unglücklich

Schreibe die Wurzel aus x-Potenz und wende dann die Potenzgesetze an.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^{?} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^a}{x^b} = x^{?} \end{eqnarray*}$

04.03.2009, 19:08

thomas1891

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^{1/2} \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{ x^{1/2} } \end{eqnarray*}$

04.03.2009, 19:11

thomas1891

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und wie kommt man jetzt auf das endgültge Ergebnis? ich verzweifle fast an der aufgabe. Vor allen weil es so umständlich ist, die Brüche einzutippen

04.03.2009, 19:13

Jacques

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Zitat:

Original von thomas1891

und wie kommt man jetzt auf das endgültge Ergebnis? ich verzweifle fast an der aufgabe.

Gehe doch Schritt für Schritt vor, dann kommst Du auch zum Ergebnis.

Es gab zwei Fragen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^{?} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^a}{x^b} = x^{?} \end{eqnarray*}$

Die erste hast Du beantwortet:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Was ist mit der zweiten? Wenn Du die beantwortet hast, weißt Du auch, was

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

ist.

04.03.2009, 19:30

thomas1891

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a-b ist die antwort der zweiten frage

04.03.2009, 19:34

Jacques

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Genau.

Also ist

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x}} = \frac{x^1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{?} \end{eqnarray*}$

Und auf das Endergebnis kommst Du dann allein, oder? smile

smile

04.03.2009, 19:37

thomas1891

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achsoooo.................
jezt hats "klick" gemacht!!!!!!!!
Vielen dank für Deine Mühe. Alleine wäre ich da nie daufgekommen. Bei dem Bruch kommt 2x hoch 1/2 also 2 mal Wurzel x und wenn man die 4 Wurzel x und die 2 Wurzel x zusammenzählt kommt 6 Wurzel X raus.
Danke!!!!

04.03.2009, 19:39

thomas1891

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Noch ne Frage: Wie kommt man da so schnell drauf wie du? Der Lösungsweg ist ja logisch und das müsste man auch in der 8. klasse oder so schon können. Aber wie kommt man darauf, das man jetzt genau die Schritte machen muss? Ist das nur Übung?

04.03.2009, 19:46

Jacques

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Ja, das ist eine reine Übungssache. Wobei Du Umformungen für die Oberstufe – da bist Du doch, oder? – sehr einfach sind, also das solltest Du eigentlich können. Zur Not musst Du eben nochmal Termumformung üben. :-)

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