Bildungsgesetze

04.03.2009, 21:04	geezz	Auf diesen Beitrag antworten »
Bildungsgesetze Hi alle! Ich hab da ein Problem, undzwar haben wir vom Mathematiklehrer ein paar Folgen gekriegt, und sollten das Bildungsgesetz der Folge aufstellen. Hier mal die Aufgabe: Überprüfen Sie, ob $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine arithmetische oder eine geometrische Folge ist. Stellen Sie das Bildungsgesetz der Folge auf. a) 3, 7, 11, 15, ... b) 4, 1, $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} , \frac{1}{16} \end{eqnarray}$ .... f) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \end{pmatrix} = 4, \begin{pmatrix} a_3 \end{pmatrix} = 1, \begin{pmatrix} a_6 \end{pmatrix} = \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ ... h) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \end{pmatrix} = 8, \begin{pmatrix} a_3 \end{pmatrix} = 72, \begin{pmatrix} a_5 \end{pmatrix} = 648 \end{eqnarray}$ Soviel dazu. Nun weiss ich nicht so recht, wie ich bei $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \end{pmatrix} auf \begin{pmatrix} a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ komme usw. Gib es da irgentwelche Formel mit denen ich das machen kann? Mir ist bei den Folgen so einiger Maßen klar, mit welcher Zahl ich die vorherige Zahl multipliziere/dividire/addire oder subtrahiere - jedoch glaub ich nicht, dass bei b) das Bildungsgesetz $\begin{eqnarray} \frac{n}{4} \end{eqnarray}$ ist - oder? Oder wie hab ich es zuhandhaben? Also meine bisherigen Lösungen : a) 4n-1 - recht einfach wie ich finde, es sei denn es ist falsch =) (arithmetisch) b) ?? - wird aber mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ multipliziert (geometrisch) ... - c)-e) und g) hab ich mir mal erspart, da ich hoffentlich das selbst herausfinde =) f) ?? - wird mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ multipliziert (geometrisch ?) h) ?? - ich denke die Reihe würde so laufen: 8, 24, 72, 216, 648 (geometrisch ?) ____________ bei f) und h) habe ich keine Ahnung wie ich auf das Bildungsgesetz kommen soll, und bei b) weiss ich nicht so recht, wie ich bei $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gleich auf 4 komme und es in ein ordentliches Bildungsgesetz zu setzen (oder vielleicht bin ich grad zu blöd dafür? =( hänge seit einer Stunde an der Aufgabe) This is my last resort! Hoffe Ihr könnt mir weiter helfen! Gruß, Steve
04.03.2009, 23:44	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildungsgesetze Hallo, Zu a): Deine Lösung ist richtig. $\begin{eqnarray} (4n - 1)_{n \in \mathbb{N}_0} \end{eqnarray}$ Zu b): Die Folge ist tatsächlich geometrisch, und der konstante Quotient ist 1/4. Aber daraus ergibt sich nicht das Bildungsgesetz n/4. Diese Regel gilt nicht einmal bei den ersten Folgengliedern! Kennst Du das allgemeine Bildungsgesetz für eine geometrische Folge? $\begin{eqnarray} \left(a_1 \cdot q^{n-1} \right)_{n \in \mathbb{N}_0} \end{eqnarray}$ Dabei ist a_1 das erste Folgenglied, und q ist der konstante Quotient zwischen einem Glied und dem Vorgänger-Glied (in diesem Fall eben 1/4). Für die Herleitung der Formel kannst Du Dir einfach die ersten Glieder einer geometrischen Folge aufschreiben. Man erhält zu einem Glied ja immer den Nachfolger, indem man das Glied mit einer gewissen Zahl q multipliziert: a_1 a_2 = a_1 * q a_3 = a_2 * q = a_1 * q² a_4 = a_3 * q = a_1 * q³ ... Und allgemein: a_n = a_1 * q^(n - 1) Zu f): Deine Vermutung ist richtig. Setze dann einfach entsprechend a_1 und q in die obige allgemeine Formel ein. Übrigens: Bei einer geometrischen Folge kommt man von einem Glied a_n auf ein Glied a_(n + m) [m ist irgendeine natürliche Zahl], indem man a_n genau m-mal mit q multipliziert. Oder anders formuliert: a_(n + m) = a_n * q^m Bei einer arithmetischen Folge gilt a_(n + m) = a_n + md. Also damit kannst Du auch überprüfen, ob Deine vermutung richtig ist: Gilt a_6 = a_3 q³ für q = 1/2? Das ist der Fall! Und bei a_1 und a_3 kannst Du das ja einfach im Kopf überprüfen. Zu h): Wieder richtig. Wie lautet dann q?
05.03.2009, 21:41	geezz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bildungsgesetze HI Jacques! Hab vielen vielen Dank für deine ausführliche Erklärung! Ich hab jetzt alles verstanden! Und ja, ich hab die Formel übersehen, die stand komischer Weise an der Tafel .. demnach: $\begin{eqnarray} b) 4\frac{1}{4}^{n-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f) 4\frac{1}{2}^{n-1} \end{eqnarray}$ daraus ergibt sich: $\begin{eqnarray} a_1 = 4, a_2 = 2, a_3 = 1, a_4 = \frac{1}{2}, a_5 = \frac{1}{8}, a_6 = \frac{1}{16} \end{eqnarray}$ So bei, $\begin{eqnarray} h) \end{eqnarray}$ nehm ich an, ist $\begin{eqnarray} q = 3 \end{eqnarray}$ und somit: $\begin{eqnarray} h) 83^{n-1} => a_1 = 8, a_2 = 24, a_3 = 72, a_4 = 216, a_5 = 648, a_6 = 1944 \end{eqnarray*}$ Ist das so alles richtig? (= Gruß, Steve
05.03.2009, 23:32	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Lösungen zu b) und f) sind falsch, weil Du keine Klammern gesetzt hast! Du musst schreiben: b) $\begin{eqnarray} a_n = 4 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1} \end{eqnarray}$ f) $\begin{eqnarray} a_n = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \end{eqnarray}$ Ohne Klammern würde sich der Exponent n - 1 nur auf den Zähler 1 beziehen. Und weil jede Potenz von 1 wieder 1 ist, würdest Du „unfreiwillig“ behaupten, die Folge bei b) sei die konstante Folge 1, 1, 1, ... und die bei f) sei die konstante Folge 2, 2, 2, ... Das Ergebnis bei h) ist korrekt. Du könntest zuletzt noch die Bildungsgesetze von b) und f) vereinfachen: $\begin{eqnarray} 4 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1} = 4 \cdot \frac{1^{n-1}}{4^{n-1}} \underbrace{= 4 \cdot \frac{1}{4^{n-1}}}_{\textrm{da immer } 1^x = 1 } = \frac{4}{4^{n-1}} = 4^{1 - (n-1)} = 4^{2-n} \end{eqnarray}$ Dasselbe bei f): $\begin{eqnarray} 2^{3-n} \end{eqnarray}$
06.03.2009, 00:32	geezz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh-- Okay, danke (= Soweit hatte ich noch garnicht gedacht es zu vereinfachen! Gruß, Steve

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