Argument einer komplexen Zahl bestimmen

05.03.2009, 13:07	Gast(Michael)	Auf diesen Beitrag antworten »
Argument einer komplexen Zahl bestimmen Hallo, ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und bleibe immer wieder am gleichen Problem hängen. Vielleicht kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen. Ich habe folgende Musterlösung die ich nur bedingt nachvollziehen kann: Ich habe eine Funktion $\begin{eqnarray} H(f) = \frac{cT}{1+2\pi i f T} \end{eqnarray}$ Die erweitert unser Prof mit dem Konjugiertkomplexen, sodass daraus wird $\begin{eqnarray} H(f) = \frac{cT (1-2\pi ifT)}{1+(2\pi f T)^2} \end{eqnarray}$ Hier ist mir schon nicht ganz klar WARUM er das macht. Anschließend gilt es $\begin{eqnarray} \varphi (f) = arg(H(f)) \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Die Lösung dazu lautet $\begin{eqnarray} \varphi (f) = arctan(-2 \pi fT) \end{eqnarray}$ Und hier verstehe ich dann leider gar nichts mehr. Wie komme ich auf dieses Ergebnis? Vielen Dank für eure Hilfe, Michael
05.03.2009, 13:30	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem komplex konjugierten erweitert man, damit der Nenner reell wird. Das ist Standard. Klar ist ja $\begin{eqnarray} \arg(c \cdot z) = \arg(z) \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} c = \frac{cT}{1+(2\pi fT)^2} \end{eqnarray}$ ergibt sich also $\begin{eqnarray} \arg(H(f)) = \arg(1-2\pi i fT) \end{eqnarray}$ Nun zeichne dir mal a+bi in die komplexe Zahlenebene und dann wird schnell deutlich warum $\begin{eqnarray} \arg(a+bi)=\arctan \frac{b}{a} \end{eqnarray}$ gilt, wenn a > 0 gilt.
05.03.2009, 13:41	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ sollte besser nicht doppelt belegt werden: Für alle $\begin{eqnarray} \alpha\in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \alpha>0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \arg(\alpha\cdot z)=\arg (z) \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} \alpha = \frac{cT}{1+(2\pi fT)^2} \end{eqnarray}$ Ciao, Reksilat.
05.03.2009, 13:44	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, ist mir entgegangen, dass das c schonmal vorkommt.
05.03.2009, 14:34	Gast(Michael)	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, ich danke euch. Das leuchtet ein! Ob ich da bei der nächsten Aufgabe von selber drauf komme ist eine andere Frage, aber verstanden hab ichs! Vielen Dank!

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