Unstetige Lsg einer Funktionalgleichung

05.03.2009, 18:45	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
Unstetige Lsg einer Funktionalgleichung Moin, ich suche für die Cauchyschen Funktionalgleichungen unstetige Lösungen. Also für $\begin{eqnarray} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(xy)=f(x)+f(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(xy)=f(x)f(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x+y)=f(x)f(y) \end{eqnarray}$ Es sind also nicht alle Lösungen gesucht, sondern ich bräuchte lediglich ein Beispiel, einer unstetigen Funktion die z.B. die erste Gleichung erfüllt. Ich habe leider keinen rechten Ansatz wie ich da rangehen soll. Ich habe die Lösungen der Funktionalgleichungen bei stetigen Funktionen schon gezeigt, deswegen seh ich da auch keine Lösung mehr. Für die erste müsste ja für alle rationale Zahlen x, $\begin{eqnarray} f(x)=mx \end{eqnarray}$ gelten (wobei m eine Konstante ist). Nun muss ich für die irrationalen Zahlen mir irgendwas überlegen um eine unstetige Funktion zu erhalten. Ich höffe ihr könnt mir da helfen. Danke!
05.03.2009, 19:25	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Soweit ich mich erinnere, kann man eine solche Lösung nicht explizit angeben. Eine Abbildung $\begin{eqnarray} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y\in\mathbb R \end{eqnarray}$ erfüllt auch $\begin{eqnarray} f(rx)=rf(x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} r\in\mathbb Q \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ . Jedes solche $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ lässt sich also als $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ -lineare Abbildung des $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ in sich auffassen und umgekehrt. Wähle eine Basis $\begin{eqnarray} \mathcal B \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Eine solche existiert sicher, allerdings kann man sie nicht angeben. Die Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist durch die Bilder $\begin{eqnarray} f(b) \end{eqnarray}$ der Elemente $\begin{eqnarray} b\in\mathcal B \end{eqnarray}$ bereits eindeutig bestimmt. Umgekehrt bekommt man durch beliebige Vorgabe dieser Bilder durch lineare Fortsetzung auch eine Abbildung, die die Funktionalgleichung erfüllt. Man kann dabei wirklich beliebige reelle Zahlen als Bilder vorgeben und erhält dann sicher auch unstetige Lösungen.
05.03.2009, 19:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier kannst du den Link zur Originalabhandlung kopieren "http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=loader&tx_jkDigiTools_pi1[IDDOC]=361613"
05.03.2009, 22:58	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Danke erstmal, ich wurschtel mich mal durch den Aufsatz.
06.03.2009, 10:41	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe mir den Text jetzt mal eingehend durchgelesen. Leider hab ich ein bisschen Schwierigkeiten damit. Also zu allererst, kann ich jetzt kein Beispiel einer solchen Funktion explizit angeben? Das verstehe ich nicht so ganz, denn laut Hamel Brauche ich doch nur f(a), f(b), f(c), .... einen Wert geben, so erhalte ich ganz sicher unstetige Lösungen. Wobei mir da nicht ganz klar ist, was $\begin{eqnarray} \alpha, \beta,\gamma ... \end{eqnarray}$ zu bedeuten haben, bzw. was ich dann mit denen machen müsste. @Mathespezialschüler: Also muss ich doch nur reelle Zahlen als Bilder angeben und diese linear miteinander verknüpfen, also so wie oben beschrieben, warum kann ich denn dann kein Beispiel angeben?
06.03.2009, 11:55	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Sowohl in dem Text als auch in meinem Beitrag sollte dir klar geworden sein, dass du diese Bilder für eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ angeben musst. Das Problem ist nur, dass eine solche Basis nicht explizit hinschreiben kannst. Man weiß, dass es sie gibt, aber mehr auch nicht. Deswegen wird es dir auch schwer fallen, eine Funktion explizit anzugeben.
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06.03.2009, 12:31	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, also mal angenommen ich würde diese Basis kennen, so könnte ich auch explizit eine Funktion angeben? Da ich diese Basis aber nicht kenne, sondern nur weiss das sie existiert, kann ich auch keine Funktion angeben?!
06.03.2009, 14:35	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.

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